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二阶线性方程的分类及化简

二阶线性方程的分类及化简

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2020-05-21 12:47 被阅读0次

二阶线性方程的分类

一般的二阶线性方程可以写成
a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_2u_y+cu=f

这里的 a_{11},a_{12},a_{22},b_1,b_2,c,f 都是变量 x,y 在某一区域上的实函数，通常假定是适当光滑.

特征方程为
a_{11}(\text{d}y)^2-2a_{12}\text{d}x\text{d}y+a_{22}(\text{d}x)^2=0

分解为两个方程
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{a_{12}+\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{a_{12}-\sqrt{a_{12}^2-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}

令 \Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22}

三种情况
在区域 \Omega 中某点 (x_0,y_0) 满足：
\Delta>0：称方程在点 (x_0,y_0) 为双曲型
\Delta=0：称方程在点 (x_0,y_0) 为抛物型
\Delta<0：称方程在点 (x_0,y_0) 为椭圆型

有些方程在区域 \Omega 的一个部分是双曲型的，另一部分是椭圆形的，而在他们的分界线上是抛物型的。这样的方程在区域 \Omega 中称为是混合型的。如特里克米(Tricomi) 方程
y\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}=0

化解方程为标准方程
当 \Delta=0 时，为抛物型
如： (\text{d}y)^2+4\text{d}x\text{d}y+4(\text{d}x)^2
我们得到一簇积分曲线 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=-2
解得一簇积分曲线 y+2x=C
于是取变换 \xi=y+2x,\eta=y

当 \Delta>0 时，为双曲型
可以得到两簇积分曲线，如
a_1y+b_1x=C
a_2y+b_2x=C
取变换
\xi=a_1y+b_x
\eta=a_2y+b_2x
当然这边积分曲线还是看解出来的结果.

当 \Delta<0 时，为椭圆形
可以得到两簇积分曲线，如
y-2x\pm ix=C
取变换
\xi=y-2x
\eta=x
这边 \xi 可以取 y-2x 的 k(k\not=0) 倍，依旧是可逆变换。

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