一、 决策树简介

决策树是一种特殊的树形结构，一般由节点和有向边组成。其中，节点表示特征、属性或者一个类。而有向边包含有判断条件。如图所示，决策树从根节点开始延伸，经过不同的判断条件后，到达不同的子节点。而上层子节点又可以作为父节点被进一步划分为下层子节点。一般情况下，我们从根节点输入数据，经过多次判断后，这些数据就会被分为不同的类别。这就构成了一颗简单的分类决策树。

1.jpg 2.jpg

二、 相关知识

请参考周志华《机器学习》第4章：决策树

注意，第75页有一行内容：信息熵的值越小，则样本集合的纯度越高。
这怎么理解呢？可举几个例子来帮助理解
例1：
p1 = 1, p2 = 0, 则Ent(D) = - (1 * log1 + 0 * log0) = 0
这表示样本集合里只有一种样本。纯度最高。

例2：
p1 = p2 = 0.5，则Ent(D) = - (0.5 * log0.5 + 0.5 * log0.5) = - (-0.5 - 0.5) = 1
样本集合中有两种样本，每种样本的纯度都是50%

例3：
p1 = 0.5, p2 = p3 = 0.25，则Ent(D) = -(0.5 * log0.5 + 0.25 * log0.25 + 0.25 * log0.25) = -(-0.5 - 0.5 - 0.5) = 1.5

例4：
p1 = p2 = p3 = p4 = 0.25，则Ent(D) = 2

例5：
p1 = p2 = p3 = p4 = 1/1024，则Ent(D) = 10

通过上面几个可以看出来，熵值越小，纯度越高，熵值越大，纯度越低。纯度范围为[0, log|y|]

三、 数据集

为了更好地理解程序，咱们只采用15行数据来实现决策树二分类。这些数据中，前6行是特征属性，最后一行是分类结果。

2,2,2,4,0,2,1
2,2,2,2,0,1,0
2,2,2,2,0,2,0
2,2,2,2,1,0,0
2,2,2,2,1,1,0
2,2,2,2,1,2,0
2,2,2,2,2,0,0
2,2,2,2,2,1,0
2,2,2,2,2,2,0
2,2,2,4,0,0,0
2,2,2,4,0,1,0
2,2,2,4,0,2,1
2,2,2,4,1,0,0
2,2,2,4,1,1,0
2,2,2,4,1,2,1

对于上面的十五行数据，咱们可以把前1/3（即前5行）数据做为测试集，把后2/3（即后10行）数据作为训练集。
注意：这里是为了好理解，划分成前1/3和后2/3，更好的做法是随机挑选一部分作为测试集，剩余的部分作为训练集。

四、 算法思路

可直接查看周志华《机器学习》中的思路

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五、 实现过程

（一）利用信息熵和信息增益

信息熵越小越好，信息增益越大越好。
信息熵的公式为：

4.png

对于各属性，信息增益的公式为：

5.png

因为D都是一样的，程序中可以省略掉D。用信息增益最大的属性作为节点划分，即要也上式最大，也即要求下式最小：

6.png

实现代码：

def __get_info_entropy(label, attr):
    result = 0.0
    for this_attr in np.unique(attr):
        sub_label, entropy = label[np.where(attr == this_attr)[0]], 0.0
        for this_label in np.unique(sub_label):
            p = len(np.where(sub_label == this_label)[0]) / len(sub_label)
            entropy -= p * np.log2(p)
        result += len(sub_label) / len(label) * entropy
    print("result:", result)
    return result

（二）划分属性

训练集的数据（后10行）为

2,2,2,2,1,2,0
2,2,2,2,2,0,0
2,2,2,2,2,1,0
2,2,2,2,2,2,0
2,2,2,4,0,0,0
2,2,2,4,0,1,0
2,2,2,4,0,2,1
2,2,2,4,1,0,0
2,2,2,4,1,1,0
2,2,2,4,1,2,1

根据上面的代码，计算出的各属性的信息增益分别为：

第0个属性的信息增益为：0.7219280948873623
第1个属性的信息增益为：0.7219280948873623
第2个属性的信息增益为：0.7219280948873623
第3个属性的信息增益为：0.5509775004326937
第4个属性的信息增益为：0.6
第5个属性的信息增益为：0.4

上述中最后一个值0.4最小，所以取该值所对应的第5列（从0开始计数）属性作为根结点。
用第5列属性进行划分，属性0对应着分类0，属性1对应着分类0，属性2对应着分类0和1，此时树的结构是这样的：

7.png

第二个属性如何计算呢？
找出第5列属性的值为2所对应的类别。再找出这些类别对应的各列属性值（不包含第5列属性），得

2,2,2,2,1,0
2,2,2,2,2,0
2,2,2,4,0,1
2,2,2,4,1,1

这里前五列表示属性0，1，2，3，4；最后一列表示分类。
计算出的各属性的信息增益分别为：

第0个属性的信息增益为：1.0
第1个属性的信息增益为：1.0
第2个属性的信息增益为：1.0
第3个属性的信息增益为：0.0
第4个属性的信息增益为：0.5

则取第3个属性来划分。第3个属性取值为2时，分类为0；取值为4时，分类为1。
此时的决策树为

8.png

（三）预测结果

需要预测的五条数据为
2,2,2,4,0,2,1
2,2,2,2,0,1,0
2,2,2,2,0,2,0
2,2,2,2,1,0,0
2,2,2,2,1,1,0
前六列是特征属性，最后一列是实际结果，用来和预测结果做比较。
第一条数据，第5个属性值是2，需要再判断第3个属性，第3个属性的值为4，根据决策树得出的预测分类为1，与实际结果吻合
第二条数据，第5个属性值是1，根据决策树得出的预测分类为0，与实际结果吻合
第三条数据，第5个属性值是2，需要再判断第3个属性，第3个属性的值为2，根据决策树得出的预测分类为0，与实际结果吻合
第四条数据，第5个属性值是0，根据决策树得出的预测分类为0，与实际结果吻合
第五条数据，第5个属性值是1，根据决策树得出的预测分类为0，与实际结果吻合

六、 完整代码

（1）DecisionTree.py

# 具有两种剪枝功能的简单决策树
# 使用信息熵进行划分，剪枝时采用激进策略（即使剪枝后正确率相同，也会剪枝）
import numpy as np


class Tree:
    def __init__(self, label, attr, pruning=None):
        self.__root = None
        boundary = len(label) // 3

        if pruning is None:
            self.__root = self.__run_build(label[boundary:], attr[boundary:],
                                           np.array(range(len(attr.transpose()))), False)
            return
        if pruning == 'Pre':
            self.__root = self.__run_build(label[boundary:], attr[boundary:],
                                           np.array(range(len(attr.transpose()))),
                                           True, attr[0:boundary], label[0:boundary])
        elif pruning == 'Post':
            self.__root = self.__run_build(label[boundary:], attr[boundary:],
                                           np.array(range(len(attr.transpose()))), False)
            self.print_tree()
            self.__post_pruning(self.__root, attr[0:boundary], label[0:boundary])
        else:
            raise RuntimeError('未能识别的参数：%s' % pruning)

    @staticmethod
    # 返回使用特定属性划分下的信息熵之和
    # label: 类别标签
    # attr: 用于进行数据划分的属性
    def __get_info_entropy(label, attr):
        result = 0.0
        for this_attr in np.unique(attr):
            sub_label, entropy = label[np.where(attr == this_attr)[0]], 0.0
            for this_label in np.unique(sub_label):
                p = len(np.where(sub_label == this_label)[0]) / len(sub_label)
                entropy -= p * np.log2(p)
            result += len(sub_label) / len(label) * entropy
        return result

    # 递归构建一颗决策树
    # label: 维度为1 * N的数组。第i个元素表示第i行数据所对应的标签
    # attr: 维度为 N * M 的数组，每行表示一条数据的属性，列数随着决策树的构建而变化
    # attr_idx: 表示每个属性在原始属性集合中的索引，用于决策树的构建
    # pre_pruning: 表示是否进行预剪枝
    # check_attr: 在预剪枝时，用作测试数据的属性集合
    # check_label: 在预剪枝时，用作测试数据的验证标签
    def __run_build(self, label, attr, attr_idx, pre_pruning, check_attr=None, check_label=None):
        node, right_count = {}, None
        max_type = np.argmax(np.bincount(label))
        if len(np.unique(label)) == 1:
            # 如果所有样本属于同一类C，则将结点标记为C
            node['type'] = label[0]
            return node
        if attr is None or len(np.unique(attr, axis=0)) == 1:
            # 如果 attr 为空或者 attr 上所有元素取值一致，则将结点标记为样本数最多的类
            node['type'] = max_type
            return node
        attr_trans = np.transpose(attr) #每一行就是原先的属性列，转置是为了计算方便
        min_entropy, best_attr = np.inf, None
        # 获取各种划分模式下的信息熵之和（作用和信息增益类似）
        # 并以此为信息，找出最佳的划分属性
        if pre_pruning:
            right_count = len(np.where(check_label == max_type)[0])
        for this_attr in attr_trans:
            entropy = self.__get_info_entropy(label, this_attr)
            if entropy < min_entropy:
                min_entropy = entropy
                best_attr = this_attr
        # branch_attr_idx 表示用于划分的属性是属性集合中的第几个
        branch_attr_idx = np.where((attr_trans == best_attr).all(1))[0][0]
        if pre_pruning:
            sub_right_count = 0
            check_attr_trans = check_attr.transpose()
            # branch_attr_idx 表示本次划分依据的属性属于属性集中的哪一个
            for val in np.unique(best_attr):
                # 按照预划分的特征进行划分，并统计划分后的正确率
                # branch_data_idx 表示数据集中，被划分为 idx 的数据的索引
                branch_data_idx = np.where(best_attr == val)[0]
                # predict_label 表示一次划分以后，该分支数据的预测类别
                print(label[branch_data_idx])
                print(np.bincount(label[branch_data_idx]))
                predict_label = np.argmax(np.bincount(label[branch_data_idx]))
                # check_data_idx 表示验证集中，属性编号为 branch_attr_idx 的属性值等于 val 的项的索引
                check_data_idx = np.where(check_attr_trans[branch_attr_idx] == val)[0]
                # check_branch_label 表示按照当前特征划分以后，被分为某一类的数据的标签
                check_branch_label = check_label[check_data_idx]
                # 随后判断这些标签是否等于前面计算得到的类别，如果相等，则分类正确
                sub_right_count += len(np.where(check_branch_label == predict_label)[0])
            if sub_right_count <= right_count:
                # 如果划分后的正确率小于等于不划分的正确率，则剪枝
                node['type'] = max_type
                return node
        values = []
        for val in np.unique(best_attr):
            values.append(val)
            branch_data_idx = np.where(best_attr == val)[0]
            if len(branch_data_idx) == 0:
                new_node = {'type': np.argmax(np.bincount(label))}
            else:
                # 按照划分构造新数据，并开始递归
                branch_label = label[branch_data_idx]

                # 哪几行branch_attr对应着上面的branch_label数组
                branch_attr = np.delete(attr_trans, branch_attr_idx, axis=0).transpose()[branch_data_idx]
                new_node = self.__run_build(branch_label, branch_attr,
                                            np.delete(attr_idx, branch_attr_idx, axis=0),
                                            pre_pruning, check_attr, check_label)
            node[str(val)] = new_node
        node['attr'] = attr_idx[branch_attr_idx]
        node['type'] = max_type
        node['values'] = values
        return node

    # 后剪枝
    # node: 当前进行判断和剪枝操作的结点
    # check_attr: 用于验证的数据属性集
    # check_label: 用于验证的数据标签集
    def __post_pruning(self, node, check_attr, check_label):
        check_attr_trans = check_attr.transpose()
        if node.get('attr') is None:
            # attr 为 None 代表叶节点
            return len(np.where(check_label == node['type'])[0])
        sub_right_count = 0
        for val in node['values']:
            sub_node = node[str(val)]
            # 找到当前分支点中，数据属于 idx 这一分支的数据的索引
            idx = np.where(check_attr_trans[node['attr']] == val)[0]
            # 使用上述数据，从子节点开始新的递归
            sub_right_count += self.__post_pruning(sub_node, check_attr[idx], check_label[idx])
        if sub_right_count <= len(np.where(check_label == node['type'])[0]):
            for val in node['values']:
                del node[str(val)]
            del node['values']
            del node['attr']
            return len(np.where(check_label == node['type'])[0])
        return sub_right_count

    # 根据构建的决策树预测结果
    # data: 用于预测的数据，维度为M
    # return: 预测结果
    def predict(self, data):
        node = self.__root
        while node.get('attr') is not None:
            attr = node['attr']
            node = node.get(str(data[attr]))
            if node is None:
                return None
        return node.get('type')

    # 以文本形式（类JSON）打印出决策树
    def print_tree(self):
        print(self.__root)

（2）Main.py

import DecisionTree
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
    print('正在准备数据并种树……')
    file = open('Data/car.data')
    lines = file.readlines()
    raw_data = np.zeros([len(lines), 7], np.int32)
    for idx in range(len(lines)):
        raw_data[idx] = np.array(lines[idx].split(','), np.int32)
    file.close()
    #np.random.shuffle(raw_data)
    data =  raw_data.transpose()[0:6].transpose()
    label = raw_data.transpose()[6]
    # tree_no_pruning = DecisionTree.Tree(label, data, None)
    # tree_no_pruning.print_tree()
    # tree_pre_pruning = DecisionTree.Tree(label, data, 'Pre')
    # tree_pre_pruning.print_tree()
    tree_post_pruning = DecisionTree.Tree(label, data, 'Post')
    tree_post_pruning.print_tree()
    test_count = len(label) // 3
    test_data, test_label = data[0:test_count], label[0:test_count]
    times_no_pruning, times_pre_pruning, times_post_pruning = 0, 0, 0
    print('正在检验结果（共 %d 条验证数据）' % test_count)
    for idx in range(test_count):
        # if tree_no_pruning.predict(test_data[idx]) == test_label[idx]:
        #     times_no_pruning += 1
        # if tree_pre_pruning.predict(test_data[idx]) == test_label[idx]:
        #     times_pre_pruning += 1
        if tree_post_pruning.predict(test_data[idx]) == test_label[idx]:
            times_post_pruning += 1
    #print('【未剪枝】：命中 %d 次，命中率 %.2f%%' % (times_no_pruning, times_no_pruning * 100 / test_count))
    #print('【预剪枝】：命中 %d 次，命中率 %.2f%%' % (times_pre_pruning, times_pre_pruning * 100 / test_count))
print('【后剪枝】：命中 %d 次，命中率 %.2f%%' % (times_post_pruning, times_post_pruning * 100 / test_count))

运行结果：

正在准备数据并种树……
决策树的结构为：
 {'0': {'type': 0}, '1': {'type': 0}, '2': {'2': {'type': 0}, '4': {'type': 1}, 'attr': 3, 'type': 0, 'values': [2, 4]}, 'attr': 5, 'type': 0, 'values': [0, 1, 2]}
正在检验结果（共 5 条验证数据）
【未剪枝】：命中 5 次，命中率 100.00%

七、参考资料

https://blog.csdn.net/dapanbest/article/details/78281201

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