简明信息安全数学基础第四章

一，判断题

5.√
10.√
15.x
20.x
25.√
30.x

二，单选题

3.A
4.A
7.D
10.C
15.C

四，综合题

(13-1)/2=6
X=1,2,3,4,5,6
1^2≡1     2^2≡4
3^2≡9     4^2≡3
5^2≡12    6^2≡7
∴1,3,4,7,9,12是二次剩余
2,5,6,8,10,11是二次非剩余

（23-1）/2=11
1^2≡1     2^2≡4
3^2≡9     4^2≡5
5^2≡3    6^2≡3
7^2≡5    8^2≡9
9^2≡4     10^2≡1
11^2≡0   12^2≡1
∴0,1,3,4,5,9是二次剩余
2,6,7,8,10,11是二次非剩余

2.求满足方程E：y^2 ≡ x^3-3x+1 (mod 7)的所有点

x=0,1,2,3,4,5,6
x=0,y^2≡1 (mod 7)    y≡1,6 (mod 7)
x=1,y^2≡-1 (mod 7)   无解
x=2,y^2≡3 (mod 7)    无解
x=3,y^2≡5 (mod 7)    无解
x=4,y^2≡4(mod 7)    y≡2,5(mod 7)
x=5,y^2≡6 (mod 7)    无解
x=6,y^2≡3(mod 7)    无解
∴点为（0,1）（0,6）（4,2）（4,5）

5.求满足方程E：y^2 ≡ x^3+x+1 (mod 17)的所有点

x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
x=0,y^2≡1 (mod 17)    y≡1,16 (mod 7)
x=1,y^2≡3 (mod 17)     无解
x=2,y^2≡11 (mod 17)    无解
x=3,y^2≡14(mod 17)     无解
x=4,y^2≡1 (mod 17)    y≡1,16 (mod 17)
x=5,y^2≡12(mod 17)    无解
x=6,y^2≡2(mod 17)    y≡6,11 (mod 17)
x=7,y^2≡11 (mod 17)   无解
x=8,y^2≡ 11(mod 17)   无解
x=9,y^2≡8 (mod 17)      y≡5,12 (mod 17)
x=10,y^2≡8 (mod 17)    y≡5,12 (mod 17)
x=11,y^2≡ 0(mod 17)    y≡0(mod 17)
x=12,y^2≡ 7(mod 17)    无解
x=13,y^2≡1(mod 17)    无解
x=14,y^2≡ 5(mod 17)    无解
x=15,y^2≡ 8(mod 17)   y≡5,12 (mod 17)
x=16,y^2≡ -1(mod 17)    y≡4,13 (mod 17)

∴点为（0,1）（0,16）（4,1）（4,16） （6,6）（6,11）（9,5）（9,12）
     （10,5）（10,12）（11,0）（15,5）  （15,12）（16,4）（16,13） 

10.计算（191/397）的Legendred的符号

（191/397）=(-1)^(397-1)/2*(191-1)/2 *(397/191)
          =(-1)(15/191)
          =（-1）(-1)^(191-1)/2*(15-1)/2 *(191/15)
          =(-1)(11/15)
          =(-1)(-1)^(15-1)/2*(11-1)/2 *(15/11)
          =(4/11)=(2^2/11)
          =1

14.判断x^2≡7 (mod 227) 同余式是否有解

(7/227)=(-1)^(227-1)/2*(7-1)/2 *(7/227)
       =(-1)*(3/7）
       =(-1)*(-1)^(7-1)/2*(3-1)/2 *(7/3)
       =(7/3)=(1/3)
       =1
∴有解