代数数论：素理想在扩张中分解

想起了准素分解之类的东西，不过，那些我也搞不懂。

image.png
总的过程就是这样，是最初的已知整闭整环，经过分式域构造获得，然后进行域扩张获得，自然诱导出整闭包。显然已知基础环的变化，还有域扩张的变化就完全决定了这个图中其他元素的变化。
这时候，基础环中的素理想在扩环中可以被分解，也就是基础环中的素理想在扩环中不再是素理想，这个分解就给出了很多种情况，可以通过三个指标进行区分，第一个指标表示了素除子的扩张程度，称为剩余次数，第二个是指数，成为分歧指标，第三个是个数。
由此获得了一系列概念，完全分裂，无分裂，完全分歧，无分歧，分歧。
这些概念很好理解，但是证明就很不容易，不过涉及了次数，自然考虑分次代数结构的性质，也就是向量空间之类的结构。经过合理的选择可以获得向量空间的直和分解，然后就可以说明次数之间的关系。

---

代数是有序的，可以理解的，逐层构造的，所以，把构造过程搞清楚，复杂的代数结构就可以理清楚了。数学描述总是着眼于变与不变，将不变的提取为共性，列入大概念中，将变的部分看作个性，作为小概念，这样就把事情描述的很清楚了。变的部分又要着眼于某些量的增减，大小，多少，这就是各种不变量的来源，比如一个洞和两个洞，一维和多维，一个因子和多个因子，所以最后往往还是归结为整数的区别。很多拓扑不变量就是这样子的，虽然人们可以通过扩张的方式引入实数或者复数指标，但是一般来说用不上，只是为了推广而推广。这也是很有趣的一个问题，在数学中离散和连续的关联和区别。
其实，学到现在，已经可以看到某种趋势，脱离具体场景而提炼出某些基本思想，然后将这种思想应用于陌生场景。这估计就是大佬们的思维方式。他们掌握了基本的旋律，只要稍稍改动其中的音符，就可以谱写出风格各异的曲子，而普通人仅仅是为了掌握一首曲子就要付出极大量的时间和精力，在这种认识下，觉得这些大佬实在是神人，估计他们都是不睡觉的，才能在这么短时间创作这么多曲子。就像皇帝的金锄头一样，眼界限制了人们的想象力。