学一点新东西

中国剩余定理

也就是同余方程组的可解性问题，这个问题是很有实践意义的。
去超市买了一些鸡蛋，只记得不超过10个，三三计数，剩下一个，两两计数正好分完，问有几个鸡蛋？
本质就是同余方程组
想要算出答案，也很容易，改写成方程
于是答案为4或者10.
中国剩余定理，就是对这种情形的推广，推广到n个素数，只要不超过这n个素数的乘积范围，就可以通过同余类唯一表示。
同余类，就可以联想到商结构，于是素数就变成了素理想，元素就变成了环中的元素，于是问题转化为环中元素按素理想的唯一分解。这样，一个初等数论问题就转化为了交换代数中的问题。这大概就是代数数论的来源，构建数论与代数的桥梁。因为数论问题非常困难，所以可以被很好的代数化的问题只能是很小的子集，但即使这样小的子集，也是非常抽象的。

环扩张，整元素，有限生成模

数域的扩张多少是有所耳闻的，环扩张其实差不多，不过环的性质差一些，所以包含的可选项就多上很多。
整元素其实就是系数多项式的根，比如代数数，代数整数之类的集合，有限生成模应该是比较好的结构，但是由于环的复杂性，也分为很多种情况，当环是一个域的时候，性质非常好，就是线性代数的内容，环是一个主理想整环时，就要差一些，如果环是一个一般的环，那就不怎么好用了。所以这个概念其实非常抽象，包含的情况非常多，这也是交换代数里面的通病，很多概念只能严格按照定义了，不能差一丝，也不要依赖于想象，因为可以想象的例子都是特殊情况，虽然有一般的例子，比如矩阵环，但是矩阵环上面的模到底是个什么东西根本无法想象。

整环扩张，整闭包

整元素就是系数多项式的根，所有的整元素就构成了一个集合，同样是一个环，这个环等同于环扩张就是整环扩张，如果不等同，那就是原来环的整闭包。可以认为通过是否为整元素区分出了扩环的元素，一部分属于整闭包，一部分就不属于。

素理想，极大理想，整环，零因子

这几个概念是环论中的基础概念，零因子就是通过环乘法可以取得0的元素，不是与零相乘的话，就是非零零因子，这种情况下，除法就没办法定义了，或有多个答案。性质好，没有这样的非零零因子的环就是整环。
素理想和极大理想则是通过商环定义的，理想可以作为环同态的核，从而构造出商环，这个商环是整环的话，这个理想就是素理想，这个商环是域的话，这个理想就是极大理想。当然还有其他的定义方式，虽然直观不过不常用。

诺特环，戴德金环

环中的所有理想都是有限生成模，则环是诺特环，这句话很难理解，因为有限生成模情况非常复杂，相应的诺特环的情况也是非常复杂的，理想的就是主理想整环，域之类，不理想的，就很难想象了。
戴德金环是更加特殊的环，整，整闭，诺特，非零理想均为极大理想。数域的代数整数环是戴德金环，说明性质还是很好的，其中的理想都可以唯一分解为素理想之积。

理想的运算

这就涉及了理想的运算，理想的运算包括加，交，乘，除，前两个按照通常方式运算即可，后两者需要特殊的构造方法以确保仍为理想。这就像范畴里面的自由元素一样，既要满足公理，又要满足额外性质，所以往往需要补上一个生成结构。就像向量张成的线性空间一样，生成出来的结构自然是合规的。

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这样吧，多了一些东西。昨天的文没过，内容大致说努力没啥用，要等待而不是瞎动，那只好用事实说话了，这篇文章的内容并不深，讲的很直白，但是没有长期接触是看不懂的，努力确实没啥用。因为里面涵盖的东西是要按照特定的顺序，一块一块的补齐，然而这个顺序并没有给出。
姑且试一试给出
首先是抽象代数中的环论，模论，域论，然后是交换代数的部分内容，理想，模，诺特环，毕竟通识课的内容浅尝即止，很多东西涉及不到。然后关于范畴的构造，尤其是自由对象的构造，可以加深对代数构造的理解。有限生成模这一块，一般的书中直接就是严格定义，看不出他的复杂性，所以需要一本有详细评述的书，接着是领域间的相关性，这就需要大量的实例支撑，代数与几何，代数与拓扑，群表示与空间运动方面的联系，从中才能获得比较踏实的认识。而不仅仅是照搬课本。
那么这些条件分列出来就感觉太多了，整合起来，更是需要不短的时间，仅凭一腔热血，是否可以立即掌握呢?任何领域想要学得很深入都不是容易的事情。人们往往只把结果放上去，过程却被隐去，所以跟着学总是缺乏神韵，不敢偏离丝毫，他们不知道这个问题吗？知道但是没必要，因为不知有知，这些东西被内化为背景了，自然而然。所以如果遇见一本对初学者友好的书籍，那真是非常的幸运。