微积分的计算是整个高等数学的心脏。高等数学以极限为基石，从函数逼近某一点的极限中引出微分，并从分割近似求和取极限算面积中引出积分，最后提出原函数、不定积分的概念和利用牛顿-莱布尼茨定理，提出定积分的概念，搭建起了微分和积分联系的桥梁。可以看出，纵然一开始微分和积分引出方式的不同，微分是出于求速率，积分是出于求面积，让它们断开了最本质的联系，直到牛顿-莱布尼茨定理的出现才巧妙地构建回原本的联系，但微分和积分两者之间本质上就是一个互逆的过程。
分割近似求和取极限的微元法是积分的关键。在单变量的定积分的基础上，向上发展出双变量的二重积分和三变量的三重积分。这里要特别说一下几类最主要的积分它们分别是怎样提出来的，尝试看一看它们之间的关联。
定积分，求以积分上下限为底，积分限的差为高，以被积函数为曲边的曲边梯形的面积和变力所做的功。二重积分，求以积分域D为底，以被积函数为曲顶的曲顶柱体的体积。三重积分，求以被积函数为密度函数的一个空间立体V的质量M。
以下都是积分的应用。定积分常用于求面积、弧长、旋转曲面面积、旋转体体积、区间内平行截面面积A(x)的体积、形心、质心。还用于变力做功、压力。重积分常用于曲面的面积、重心、万有引力。
第一型曲线积分，求曲线状物体的质量。被积函数是线密度，弧微分用定积分求出。第二型曲线积分，求质点在力的作用下做曲线运动时力所做的功。两类曲线积分有关系。
第一型曲面积分，求曲面状物体的质量。曲面微元用二重积分求出。第二型曲面积分，求单位时间内流体从S的负侧通过曲面S流向正侧的流量。流速是非常量。两类曲面积分有关系。
定积分研究的是定义在直线段上的函数的积分。曲线积分和曲面积分研究的是定义在平面或空间曲线段或曲面片上的函数的积分。摘自华师数学分析教材。
各类积分之间的关系
格林公式给出了第二型曲线积分和二重积分的关系。
高斯公式给出了第二型曲面积分和三重积分的关系。
斯托克斯公式给出了第二型空间曲线积分和第二型曲面积的公式。
对常微分方程的处理也主要是积分的计算。
说一下各类积分计算解题基本模型。
【定积分的计算】
1、化简。看两部分：积分限的对称性和被积函数的奇偶性和周期性。
2、选方法。看被积函数的形式选用换元积分法或分部积分法。目的是利用基本积分公式确定出原函数用莱布尼茨求结果。
3、如果有需要，套用华里士公式，常考。
【二重积分的计算】
1、画出草图，化简。看积分域的对称性和被积函数的奇偶性。
2、选择化为累次积分的坐标系。直角坐标系和极坐标系。
3、选择累次积分的积分次序。
4、确定累次积分的积分限并计算累次积分，也就是两个定积分。
【三重积分的计算】
1、画出草图，化简。看积分空间域的对称性和被积函数的奇偶性。
2、选择化为累次积分的坐标系。直角坐标系和柱坐标系、球坐标系。
3、选择累次积分的积分次序。
4、确定累次积分的积分限并计算累次积分，也就是三个定积分，或一个二重积分，一个定积分。
【第一类曲线积分的计算】
1、化简。利用奇偶性和对称性。
2、直接法。代入弧微分。
【第一类曲面积分的计算】
1、化简。利用奇偶性和对称性。
2、直接法。代入曲面微元。
【第二类曲线积分的计算】
1、看曲线是否封闭。封闭用格林公式。如果不封闭，首先尝试补线用格林公式。
2、如果不封闭，还可考虑计算是否与路径无关。如果与路径无关，考虑改换路径或者利用原函数。
3、如果不封闭也不是与路径无关，尝试直接法方不方便。
4、最后考虑利用两类曲线积分之间的转换。
注意曲线方向问题。
【第二类曲面积分的计算】
1、看空间区域是否封闭。封闭用高斯公式。如果不封闭，首先考虑补面再用高斯。
2、如果不封闭，还可以看用直接法是否方便。
3、最后考虑利用两类曲面积分之间的转换。
注意曲面方向问题。
【常微分方程】
1、一阶。从考试频率高低排序分别优先尝试线性方程、可分离变量的方程、齐次方程、伯努利方程、全微分方程。
2、二阶。（1）二阶常系数齐次方程求解。分三种情况。两个不相等的实根，两个相等的实根，一对共轭复根。（2）线性常系数非齐次方程。（3）可降阶的高阶微分方程。作变换。
3、n阶。（1）n阶常系数齐次方程求解。（2）n阶常系数非齐次方程求解。欧拉方程。
最后，有一部分知识是积分的必备知识，那就是涉及到的平面和空间曲线和曲面方程，尤其是规则旋转曲面方程。画出这些图形是判断对称性和最重要的确定积分上下限的关键。
常考曲线：圆、椭圆、直线。
常考曲面：球、椭球、柱面、平面。
以上是对各部分知识的简单归纳理线，特别注意去联系各个概念。作为一个雏形。模型需要靠算题来不断检验优化和完善。
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