【矩阵】17、矩阵的秩

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-02-07 16:03 被阅读0次

矩阵的秩.png

一、练习答案

用初等变换将下列矩阵化为梯形阵

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&2 \\ 0&2&0 \\ -1&0&3 \end{array} \right)$

$r_{3}+r_{1} \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&2 \\ 0&2&0 \\ 0&0&5 \end{array} \right)$

$c_{3}-2c_{1} \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&5 \end{array} \right)$ (已为梯形阵，但仍可化简)

$c_{2}/2,c_{3}/5 \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$

$B=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 4&-3&3&12 \\ 3&-1&1&9 \end{array} \right)$

$r_{2}-4r_{1},r_{3}-3r_{1} \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 0&-11&11&0 \\ 0 &-7&7&0 \\ \end{array} \right)$

$r_{2}/11,r_{3}/7 \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 0&-1&1&0 \\ 0 &-1&1&0 \\ \end{array} \right)$

$r_{3}-r_{2} \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 0&-1&1&0 \\ 0 &0&0&0 \\ \end{array} \right)$ (已为梯形阵，但仍可化简)

$c_{2}-2c_{1},c_{3}+2c_{1},c_{4}-3c_{1}\rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&-1&1&0 \\ 0 &0&0&0 \\ \end{array} \right)$

$c_{3}+c_{2} \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0 &0&0&0 \\ \end{array} \right)$

$r_{2} \times (-1) \rightarrow$
$\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0 &0&0&0 \\ \end{array} \right)$

二、知识点

1、k阶子式

在 $A_{m \times n}$ 中任取k行k列，位于这些行、列相交处的 $k^{2}$ 个元素，按原次序组成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
一般地： $m \times n$ 矩阵A的k阶子式有 $C^{k}_{m}C^{k}_{n}$ 个。

$A=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 1&3&1&4 \\ \end{array} \right)$ 共有4个3阶子式。

$\left| \begin{array}{cccc} 2&3&8 \\ 2&12&-2 \\ 1&3&1 \end{array} \right| \quad \left| \begin{array}{cccc} 2&-3&2 \\ 2&12&12 \\ 1&3&4 \end{array} \right|$

$\left| \begin{array}{cccc} 2&8&2 \\ 2&-2&12 \\ 1&1&4 \end{array} \right| \quad \left| \begin{array}{cccc} -3&8&2 \\ 12&-2&12 \\ 3&1&4 \end{array} \right|$

计算知，这4个3阶子式全为零。

2、秩(rank)的定义

矩阵A的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩。记作r(A)或者R(A)或秩(A)

例1.
$A=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 1&3&1&4 \\ \end{array} \right)$

$2 \times 12 - (-3 \times 2 )=30$
这个矩阵不为零的子式的最高阶数为2。

显然：r(O)=0；只要A不是零矩阵，就有r(A)>0.并且：
（i） $r（A_{m \times n}）min\{m,n\}；$
（ii）若有一个r阶子式不为零，则r(A)≥r，
若所有的阶子式全为零，则r(A)<r.
（iii）r(A)=r(A).
（iv）设 $A_{m \times n}$ ，若 $\left |1 \right | \neq 0$ ，则r(A)=n；若 $\left |1 \right | = 0$ ，则r(A)<n.

例2.
$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1r}&\cdots&a_{1n} \\ &a_{22}&\cdots&a_{2r}&\cdots&a_{2n} \\ &&\ddots&\vdots&\cdots&\vdots \\ &&&a_{rr}&\cdots&a_{rn} \\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&0 \\ \end{array} \right)$

$(a_{11}a_{12} \cdots a_{rr} \neq 0)$
显然r(A)=r.

任何一个矩阵都可以经初等变换将其化为梯形阵。
梯形阵的秩是梯形阵中非零行的行数。

只需考虑矩阵经初等变换后其秩是否不变？
回答是肯定的，我们有：
定理：矩阵经初等变换后其秩不变。

初等变换不会改变矩阵为零或不为零的情况。

秩的求法：初等变换法
例3.
$A=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 1&3&1&4 \\ \end{array} \right)$

$r_{1}→r_{3}$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 0&6&-4&4 \\ 0&-9&6&-6 \\ \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 0&6&-4&4 \\ 0&0&0&0 \\ \end{array} \right)$

$\Rightarrow r(A)=2$

例4.
$C=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 4&t&3&12 \\ 3&-1&1&9 \\ \end{array} \right)$ ，t为何值时，r(C)<3?

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 0&t-8&11&0 \\ 0&-7&7&0 \\ \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 0&-1&1&0 \\ 0&t-8&11&0 \\ \end{array} \right)$