求数列满足递推关系式的通项公式

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-11-04 07:12 被阅读0次

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若数列 $\{a_n\}$ 满足关系式 $a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}+2^n\quad(n\geq2)$ ，试求 $a_n$ 的通项表达式。

要求解数列 $\{a_n\}$ 的通项表达式，首先观察给定的递推关系式 $a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}+2^n$ 。这是一个非齐次的线性递推关系。
解：

求解对应的齐次递推关系的通项。
找出非齐次项 $2^n$ 的一个特解。
利用叠加原理，将齐次解和非齐次特解相加得到原递推关系的通解。

步骤1：求解齐次递推关系的通项

对于齐次递推关系 $a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}$ ，假设其通项形式为 $a_n=\lambda^n$ ，代入递推关系得到特征方程：
$\lambda^n = 5\lambda^{n-1} - 6\lambda^{n-2}$
将上式除以 $\lambda^{n-2}$ （假设 $\lambda \neq 0$ ）得到：
$\lambda^2 = 5\lambda - 6$
解这个二次方程，得到特征根：
$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3$
因此，齐次递推关系的通解为：
$a_n^h = C_1 \cdot 2^n + C_2 \cdot 3^n$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是待定常数。

步骤2：找出非齐次项的特解

对于非齐次项 $2^n$ ，我们可以尝试形如 $a_n^p = A \cdot 2^n$ 的特解，其中 $A$ 是常数。代入原递推关系：
$A \cdot 2^n = 5A \cdot 2^{n-1} - 6A \cdot 2^{n-2} + 2^n$
化简得到：
$A \cdot 2^n = 5A \cdot 2^{n-1} - 6A \cdot 2^{n-2} + 2^n$
$A \cdot 2^n = \frac{5A}{2} \cdot 2^n - \frac{3A}{2} \cdot 2^n + 2^n$
$A \cdot 2^n = \left(\frac{5A}{2} - \frac{3A}{2} + 1\right) \cdot 2^n$
比较系数得到：
$A = \frac{2}{3}$
因此，非齐次项的特解为：
$a_n^p = \frac{2}{3} \cdot 2^n = \frac{4}{3} \cdot 2^{n-1}$

步骤3：叠加原理得到通解

原递推关系的通解为齐次解和非齐次特解的和：
$a_n = a_n^h + a_n^p = C_1 \cdot 2^n + C_2 \cdot 3^n + \frac{4}{3} \cdot 2^{n-1}$
为了确定 $C_1$ 和 $C_2$ ，我们需要初始条件 $a_0$ 和 $a_1$ 。由于题目没有给出初始条件，我们无法确定 $C_1$ 和 $C_2$ 的具体值。因此，最终的通项表达式为：
$a_n = C_1 \cdot 2^n + C_2 \cdot 3^n + \frac{4}{3} \cdot 2^{n-1}$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 由初始条件决定。