分析力学基本原理介绍4.3：欧拉-拉格朗日方程

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-14 10:38 被阅读0次

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我们用最简单的一维问题引入了变分原理，并推导出了与之对应的“一维拉格朗日方程”。但是对于绝大部分物理问题，函数 $f$ 所含的独立变量通常不止一个，所以更多时候我们不得不在更高的维度下分析问题。但因为已经有了一维作为参考，“一维拉格朗日方程”到任意有限维度的推广就变得很自然了。

考虑泛函

$J(\alpha) = \int_{1}^{2}f(y_1(x,\alpha), y_2(x,\alpha),...,\dot{y_1}(x,\alpha), \dot{y_2}(x,\alpha),...,x)\;dx$

其中所有的定义都与一维情况相同，只不过现在增加了一些独立变量。

根据变分原理，

$\delta J = \delta\int_1^2f(y_1(x,\alpha), y_2(x,\alpha),...,\dot{y_1}(x,\alpha), \dot{y_2}(x,\alpha),...,x)\;dx$

等式右边与之前一样，是虚变分。

于是有，

$\delta J = \int_1^2\frac{\partial }{\partial \alpha}f(y_1(x,\alpha), y_2(x,\alpha),...,\dot{y_1}(x,\alpha), \dot{y_2}(x,\alpha),...,x)\;d\alpha\;dx$

进一步求导得到

$\delta J = \int_1^2 \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial y_i}\frac{\partial y_i}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial \dot{y_i}}{\partial \alpha}\right)d\alpha\;dx$

同样地，将第二项写成

$\sum_i\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial \dot{y_i}}{\partial \alpha} = \sum_i\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial^2 y_i}{\partial x\partial \alpha}$

使用分部积分法可以得到

$\int_1^2\sum_i\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial^2 y_i}{\partial x\partial \alpha} \;dx= \sum_i\left.\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\frac{\partial y_i}{\partial \alpha}\right|_1^2 - \int_1^2 \sum_i\frac{\partial y_i}{\partial \alpha}\left(\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\right)dx$

第一项一如既往地消失，于是

$\delta J = \int_1^2\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}}\right)\delta y_i\;dx$

其中利用了定义

$\delta y_i = \left(\frac{\partial y_i}{\partial \alpha}\right)_0d\alpha$

根据变分法基本引理，我们得到了泛函 $J$ 的虚变分为零的条件：

$\boxed{\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial \dot{y_i}} = 0}$ ， $i = 1,2,...,n$

这是“一维拉格朗日方程”的有限高维推广，它被叫做欧拉-拉格朗日微分方程(Euler-Lagrange differential equation)。其重要性不言而喻。

现在，根据哈密顿原理，泛函具有形式

$I = \int_1^2 L(q_i,\dot{q_i},t)dt$

欧拉-拉格朗日方程则变成了

$\boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i} = 0}$ ， $i = 1,2,...,n$

与从达朗伯原理推导出的结果一致。

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