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动力学建模-拉格朗日方程

动力学建模-拉格朗日方程

作者: 飞多多 | 来源:发表于2020-07-11 15:28 被阅读0次

朗格朗日这个人，与欧拉、柯西、高斯、伯努利、拉普拉斯、笛卡尔（排名不分先后）等人一起在大学时代折磨了无数的莘莘学子，拉格朗日曾说过：“知道我的名字的人就已经很牛逼了！”，反正我信这话，不过，这话鲁迅大抵也是说过的吧。今天主要简单的介绍一下拉格朗日方程在动力学系统中的建模应用。
下面一段摘自维基百科，假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立：
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=Q \tag{1}
其中L(q,\dot(q),t) 是拉格朗日量，q=(q_1, q_2, q_3, \cdots, q_N)是广义坐标，是时间t的函数，\dot{q}=(\dot{q_1},\dot{q_1},\dot{q_3},\cdots, \dot{q_N},)是广义速度, Q是对应的广义力。
在力学建模中，拉格朗日量定义为动能减去势能，即
L=T-V\tag{2}
其中，T为系统中的总动能，V为系统中的总势能。
下面举一个常见的倒立摆的建模过程，有如下的倒立摆，小车的质量为M,小球的质量为m，杆长为l，外力u作用于小车：

Inverted pendulum.jpg

首先分析，系统中的广义坐标有两个:x,\theta,因此，对小车我们有：
\begin{matrix} T_车 = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 \\ V_车=0 \end{matrix} \tag{3}
对杆，它的水平位移和竖直位移分别为x_杆=x-l\cdot sin\theta， \quad y_杆 =l\cdot cos\theta，所以
\begin{matrix} T_杆 = \frac{1}{2}m\dot{x}_杆^2+\frac{1}{2}m\dot{y}_杆^2 \\ V_杆=mglcos\theta\end{matrix} \tag{4}
于是拉格朗日量为：
L=T_车+T_杆-V_车-V_杆 \\ \quad= \frac{1}{2}M\dot{x}^2+\frac{1}{2}m(\dot{x}-l\dot{\theta}cos\theta)^2+\frac{1}{2}m(-l\dot{\theta}sin\theta)^2-mglcos\theta\\ =\frac{1}{2}M\dot{x}^2+\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+l^2\dot{\theta}^2-2l\dot{x}\dot{\theta}cos\theta)-mglcos\theta
所以
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = M\ddot{x}+m(\ddot{x}-l\ddot{\theta}cos\theta+l\dot{\theta}^2sin\theta)\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} =ml(l\ddot{\theta}-\ddot{x}cos\theta+\dot{x}\dot{\theta}sin\theta) \\ \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \theta} = mlsin\theta(\dot{x}\dot{\theta}+g)
依据拉格朗日方程，
M\ddot{x}+m(\ddot{x}-l\ddot{\theta}cos\theta+l\dot{\theta}^2sin\theta)-0=u \\ ml(l\ddot{\theta}-\ddot{x}cos\theta+\dot{x}\dot{\theta}sin\theta)- mlsin\theta(\dot{x}\dot{\theta}+g)=0
将(x,\theta, \dot{x}, dot{\theta})^T作为系统的状态变量，我们把上式中的\ddot{x}和\ddot{\theta}作为未知变量求解，经过繁琐的化简和整理（我确确实实是算了一遍的），可得：
\ddot{x} = -\frac{msin\theta(l\dot{\theta}^2-gcos\theta)}{M+msin^2\theta} + \frac{1}{M+msin^2\theta}u \\ \ddot{\theta}= -\frac{(M+m)g-ml\dot{\theta}^2cos\theta}{l(M+msin^2\theta)}sin\theta+\frac{cos\theta}{l(M+msin^2\theta)}u \tag{5}
显然，这是一个非线性非定常微分方程。一般而言，我们可以在零点附近作泰勒线性展开。

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