公理体系｜几何的理论系统从何而来？

【吴军｜数学通识50讲】21｜公理体系：几何的理论系统从何而来？

【感知得到第 20天之1，总37】🦉

要学好几何，首先是必须要有具体问题，接着把公理、公设都必须要牢牢记住，才有办法往下找定理、概念，接着才有办法几解题。

★知道问题→相关定义→公理、公设→定义概念→解题。

从这样的过程，我们知道要把几何学起来，也逃不过逻辑的好好训练。特别是，要阐述逻辑的过程中，几何学领域非常重视表述(statement)，也就是把该讲的话都不嫌麻烦清楚说。

这过程就是考验耐心细致了，而且要进行逻辑演绎过程，或许也都要借重虚构，例如另外拉一条辅助线？或另外用一个辅助角，去支持论理的说明。这十分考验抽象思考、举一反三的能力。

【一般性公理】必须背下来：

1)如果a=b, b=c, 那么a=c

2)如果a=b, c=d, 那么a+c=b+d

3)如果a=b, c=d, 那么a-c=b-d

4)彼此能重合的物体(图形)是全等的

5)整体大于部份

【五大公设】也要记住：

1)直线公理：由任意一点到另外任意一点可以画直线

2)一条有线直线可以继续延长

3)圆公理：以任意点为心，以任意距离为半径可以画圆

4)凡直角都彼此相等

5)平行公理：过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线；至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。

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【思考】其他知识体系，是否有可能建立在公理基础之上？

昨天刚好学吴军老师硅谷来信第三季，有关亚里士多德的逻辑学。当中就给我学习欧几里得之几何学有了重要的提醒：【说得头头是道之前，要知道是讲道理。】

意思是，如果不在同一范畴、同样属性，硬要去找论点，就会鸡同鸭讲，必须有前提知识意义的了解，再用公理往下逻辑推演才有意义。

这个很考验有没有"常识"。像是老师就举一个例子，说所有人都会死，但不能排除张三会死的问题，因为要先知道，张三有可能是人，也有可能是一条狗的名字。

基于此，我们在几何学里面如果要做公理使用的推断，前提都会先说：在同一个平面上....，是一样的作用。这个就涉及对这世界的了解，会需要不同知识体系的支持。

觅儿｜跟吴军老师学数学第19天

2021年6月 3日