极限定理准则定义

作者: 卤蛋大宝贝啊 | 来源:发表于2019-01-09 11:21 被阅读0次

极限定理准则定义
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数学分析理论基础10：函数极限存在的条件与两个重要极限
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讲讲大数定理

数列极限

1.定理：

1.若数列收敛，则其任何子列也收敛

2.（唯一性）若数列收敛于常数，那该常数必唯一

3.（有界性）若数列收敛，则数列有界

4.（保号性）若数列收敛于 $a$ ， $a>0(或a，则存在正整数<img class=$ ，当 $n>N$ 时，有 $a_n>0(或a_n</p><h4>2.准则：</h4><p>1.（夹逼准则）如果数列<img class=$ 、 $\{y_n\}$ 及 $\{z_n\}$ 满足：

(1) $x_n \leq y_n \leq z_n (n=1,2,3,……)$ (2) $\lim \limits_{ n \to \infty} x_n = a,\lim \limits_{ n \to \infty} z_n = a$

则数列 $\{y_n\}$ 的极限存在，且 $\lim \limits_{ n \to \infty} y_n = a$

5.单调有界极限必有极限

函数极限

1.定理：

1.（唯一性）如果函数极限存在，那么极限唯一

2.（局部有界性）如果 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A（\exists）$ ，则存在正常数 $M$ 和 $\delta$ ，是的当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\leq M$

3.（局部保号性）如果 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A（\exists）$ ，且 $A>0(或A，那么存在正常数<img class=$ ，使当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0 (或f(x)</p><h4>2.运算法则：</h4><p>1.（夹逼准则）如果函数<img class=$ , $g(x)$ 及 $h(x)$ 满足下列条件：

(1) $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ ;(2) $\lim f(x) = A$ , $\lim h(x) = A$ ，则 $\lim g(x) = A(\exists)$

无穷小

1.无穷小比阶

设同一自变量的变化过程中， $\lim \alpha(x) = 0,\lim \beta(x),且\beta(x)\neq 0$ ，则：

(1) $\lim {\alpha(x) \over \beta(x)} = 0$ ，则称 $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶无穷小，记为 $\alpha(x) = o(\beta(x))$

(2) $\lim {\alpha(x) \over \beta(x)} = c \neq 0$ ，则称 $\alpha(x)$ 是与 $\beta(x)$ 同阶无穷小

(3) $\lim {\alpha(x) \over \beta(x)} = 1$ ，则称 $\alpha(x)$ 是与 $\beta(x)$ 等价无穷小，记为 $\alpha(x) \sim \beta(x)$

(4) $\lim {\alpha(x) \over {[\beta(x)]^k}} = c \neq 0$ ，则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小

2.无穷小运算规则

(1)有限个无穷小的和是无穷小

(2)有限个无穷小的乘积是无穷小

(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小

3.无穷小阶数的运算

设m,n为正整数，则

(1) $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=min\{m,n\}$ （加减法，低阶「吸收」高阶）

(2) $o(x^m)\cdot o(x^n) = o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$ （乘法，阶数「累加」）

(3) $o(x^m)=o(kx^m)=k\cdot o(x^m),k \neq 0且为常数$ （非零常数不影响阶数）

4.常用等价无穷小

$x \sim sinx \sim arcsinx \sim tanx \sim arctanx \sim ln(1+x) \sim e^x-1$

$a^x-1\sim xlna$ , $1-cos\sim {1 \over 2} x^2$ , $(1+x)^a-1\sim ax$

$x-sinx\sim arcsin-x\sim {1 \over 6}x^3$

间断点类型

第一类间断点：

(1)可去间断点

$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A \neq f(x_0)(f(x_0)可以无定义)$

(2)跳跃间断点

$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)(\exists),\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)(\exists),\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$

第二类间断点：

(1)无穷间断点

$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)= \pm \infty,\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$

(2)震荡间断点

$\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$ 极限震荡不存在，如 $\lim \limits_{x \to 0} \sin {1\over x }$ ，函数在 $[-1,1]$ 交替震荡取值，极限不存在

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