似乎很明显，数学天才必须具备的能力，是首先发现有价值的思想，然后找出这些思想的意义。乌拉姆在数学领域中具备了这种能力，然而在音乐领域中却几乎完全没有这种能力。另一方面，音乐领域的一位大师鲁宾斯坦，发出了相反的抱怨。他感到对于自己来说，数学是“无法企及的。”
在数学才能的核心之中，存在着识别关键问题然后解决它们的能力。至于怎样才能认识关键的问题，数学家们对此似乎感到困惑。发现问题存在的背景如何，仍然显得很神秘。虽然如同在音乐中一样，某些在数学技巧上拥有天赋的人，显然能够立即直接感受到这种发现，并具备这方面的本领。而另外一些同样有（甚至有更精深技巧)的人，却表现不出这种倾向。不论怎么说，在解决问题的模式上，我们已经有了大量的文献。数学家们做了各种研究，以帮助人们解决探索问题的方法。数学方面的非正式训练，常常就包含着对这些技能的吸收，并将这些内容传到下一代人。我们从乔治·波利亚、赫伯特·西蒙、爱伦·纽威尔这类专解决数学难题的学者们那里，能够得到有益的启示。数学家们被建议首先要做普遍化的工作，也就是从某个问题中一组给定的目标出发，导出范围更大的一组目标，其中包含先前给定的那一组较小的目标。反过来，数学家们又被建议进行专门化的工作，从给定的一组目标转入到较小的一组目标，后者本身也包含在给定的那一组目标之中；数学家应当首先找出可类比的关系，然后就能找出与所要解决的问题有相似之处（或相异之处）的问题或情境，以便为自己的工作提供指导。
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