在这个小测验里，我让你们求一个2 × 3 的行列式。让我感到非常可笑的是，你们当中竟然有人尝试去做。—— 佚名
目前为止，我们所讨论的线性变换要么用2 × 2 矩阵来表示二维向量到二维向量的变换，要么用3 × 3 矩阵来表示三维向量到三维向量的变换，这些都是方阵，是时候来说说非方阵了。
image.png
讨论不同维数之间的变换是完全合情合理的，比如一个将二维向量变为三维向量的变换。
image.png
同之前一样，这些变化是线性的，原因在于网格线保持平行且等距分布，并且原点映射为自身；值得强调一点，输入的二维向量与输出的三维向量是完全不同的“物种”，它们生活在没有任何关联的空间当中。
image.png
用矩阵代表这样一个变换则和之前的方法相同，找到每一个基向量变换后的位置，然后把基向量的坐标作为矩阵的列，比如说你现在看到的是一个变换后的空间，这个变换将i帽变换到坐标 (2, -1, -2) ， j帽变换到坐标 (0, 1, 1) ；
注意一点，这意味着代表这个变换的矩阵是三行两列的，用术语来说，这是一个 3 × 2 矩阵，这个矩阵的列空间是三维空间中一个经过原点的二维平面，但是这个矩阵仍然是满秩的，因为列空间的维数和输入空间的维数相等。所以当你看到一个 3 × 2 矩阵时，你就明白它的几何意义是将二维空间映射到三维空间上，因为矩阵有两列表明输入空间有两个基向量，有三行表明每一个基向量在变换后，都用三个独立的坐标来描述。
类似的，当你看到一个两行三列的 2 × 3 矩阵时，矩阵有三列表明原始空间有三个基向量，也就是原始空间是三维的，有两行表明这三个基向量在变换后，都仅用两个坐标来描述，所以他们一定落在二维空间中，因此这是一个从三维空间到二维空间的变换。同理，还可以有二维空间到一维空间的变换，在此不作赘述。
网友评论