线代--矩阵可逆的重要性

作者: 倪桦 | 来源:发表于2022-07-12 00:22 被阅读0次

1，帮助线性系统求解。

线性系统是一种很广泛用来描述世界，描述问题的方式。很多问题都可以被线性系统抽象为 $Ax=b$ 的形式，其中 $x$ 是要求解，通过"高斯消元"可以很容易得到解。但是如果 $A$ 是一个可逆的系数矩阵，并能够求出 $A^{-1}$ 的话，就有 $A^{-1} \cdot A \cdot x = A^{-1}\cdot b$ ，也能解出 $x=A^{-1}\cdot b$ 。不过在一次计算的过程中，求出矩阵 $A$ 的逆的时间复杂度其实和"高斯消元"的过程几乎是一致的，甚至求 $A^{-1}$ 的时间复杂度会更高。

但是对于形式 $Ax=b$ ,如果在矩阵 $A$ 不变， $b$ 会变化的情况下，通过 $x=A^{-1}\cdot b$ 求解会大大加快计算速度。

2、当一个方阵 $A$ 可逆，以下四个等价命题即成立：

① 矩阵 $A$ 是非奇异矩阵;
② 齐次线性系统 $Ax=0$ 有唯一解，且这个解为零解 $\begin{bmatrix} 1&0&0&|&0\\0&1&0 &|&0\\0&0&1&|&0\end{bmatrix}\to x=0$ ;
③ 矩阵 $A$ 的行最简形式为 $I$ , $reff(A) = I$ ；
④ 矩阵 $A$ 可以表示为一些列初等矩阵的乘积, $reff(A)=I=E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} \cdot A \\ (E_{p}^{-1}\cdot ... \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{1}^{-1})\cdot (E_{p}\cdot ... \cdot E_{3} \cdot E_{2} \cdot E_{1} )\cdot A = (E_{p}^{-1}\cdot ... \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{1}^{-1})\cdot I \\ A = E_{p}^{-1}\cdot ... \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{1}^{-1}$

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