矩阵可逆的几个充要条件

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-12-18 23:51 被阅读0次

矩阵可逆的几个充要条件
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矩阵可逆:
概念：对于 $n$ 阶矩阵 $\mathbf A$ ，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf B$ ，使
$\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf E$
则说矩阵 $\mathbf A$ 是可逆的，并把矩阵 $\mathbf B$ 称为 $\mathbf A$ 的逆矩阵。

1. $|\mathbf A| \neq 0$

需要回忆一下伴随矩阵的概念，行列式的运算规律。

充分性：先证 $\mathbf{AA^\ast = A^\ast A = |A|E}$ 。

再证充分性，

必要性：

2. $\mathbf A$ 可表示为有限个初等矩阵相乘

需要回忆一下初等矩阵的概念，矩阵的初等变换。

充分性：

必要性：

3. $\mathbf A$ （行）等价于 $n$ 阶单位矩阵

4. $R(\mathbf A)=n$

需要回忆一下矩阵的秩的概念。

$R(\mathbf A)=n \iff |\mathbf A| \neq 0 \iff 矩阵可逆$

5. $\mathbf A$ 的列（行）向量组线性无关

需要回忆一下齐次线性方程组，矩阵的列向量组等。

以列向量组为例说明：
$\begin{align*} \mathbf A的列向量组线性无关 & \iff 对应齐次线性方程组只有零解 \\ &\iff R(\mathbf A)=n \\ &\iff 矩阵可逆 \end{align*}$

6. 齐次线性方程组 $\mathbf{Ax=0}$ 仅有零解

第5条中已说明。

7. 非齐次线性方程组 $\mathbf{Ax=b}$ 有唯一解

没啥好证的。

8. 任一 $n$ 维向量可由 $\mathbf A$ 的列（行）向量组线性表示

需要回忆一下向量空间的内容。

以列向量组为例说明：
$\begin{align*} 任一n维向量可由\mathbf A的列向量组线性表示 & \iff 一组n维自然基能由\mathbf A的列向量组线性表示 \\ &\iff 能互相线性表示 \\ &\iff 相互等价 \\ &\iff 两者的秩都是n \\ &\iff 矩阵可逆 \end{align*}$

9. $\mathbf A$ 的特征值都不为0

记忆一下特征值的乘积为矩阵行列式（这个不证）。

$\begin{align*} \mathbf A的特征值都不为0 & \iff |\mathbf A| \neq 0 \\ &\iff 矩阵可逆 \end{align*}$

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