线代（二）：矩阵

线性方程组

假设有 n个未知数 m个方程的线性方程组如下所示：

其中，若（第个方程的常数项）不全为0，此方程组称为n元非齐次线性方程组，若全为0，则是n元齐次线性方程组，如下所示：

对于n元齐次线性方程组来说，必有零解（），但不一定有非零解。关于如何求解线性方程组，可参考后续文章。

矩阵

矩阵的定义

由 个数排成的 m 行n列的数表，称作m行n列矩阵，记作：，若为实数，矩阵则称为实矩阵；为复数时，矩阵则是复矩阵。
当行数和列数相同时，这样的矩阵则称为n阶矩阵或者n阶方阵，记作。
只有一行的则是行矩阵：
只有一列的则是列矩阵：
若两个矩阵行数和列数都相同时，就称他们为同型矩阵
若两矩阵是同型矩阵且元素都相等时，则称他们为两矩阵相等，记作

对于非齐次线性方程组：

我们在来了解两个特殊n阶方阵和一个矩阵：

• 对角矩阵（方阵）：对角线以外的元素都为0，记作：
• 单位矩阵（方阵）：对角线元素都为1，其余都为0，记作：
• 零矩阵：元素全为0，记作。

矩阵的运算

矩阵的加法

设,是两个矩阵，则矩阵称为矩阵A与B的和，记为

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数与矩阵相乘

设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为

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矩阵与矩阵相乘

设是矩阵，是矩阵,那么矩阵，其中，称为与的乘积，记为。

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注：
(1) 矩阵乘法无交换律，即一般情况下，
(2) 不能推出或者
(3) ，不能推出

矩阵的转置

把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作：，如：

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设为 n 阶方阵，如果满足 ，那么A称为对称矩阵，简称对矩阵。

方阵的行列式

由 n 阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式，记作或。

应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是 个数按一定方
式排成的数表，而 n 阶行列式则是这些数（也就是数表 A）按一定的运算法则所
确定的一个数。

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行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵:称为矩阵A的伴随矩阵。

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对于2阶矩阵，用主对角线元素对换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。

逆矩阵

对于n 阶矩阵 ，如果有一个n 阶矩阵 ，使，则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为矩阵的逆矩阵，简称逆阵。矩阵则是可逆矩阵或非奇异矩阵。

• 若是可逆矩阵，则矩阵的逆矩阵唯一，记为。
• 若矩阵A可逆，则
• 若，则矩阵可逆，且若 （或 ），则
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克拉默法则

矩阵分块法

对矩阵适当地分块处理，有如下运算法则：

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• 若分别是m阶与s阶矩阵，则：
• 若分别是m阶与s阶可逆矩阵，则：
• 若是矩阵，是矩阵且，对和矩阵按列分块有：,即得列向量是齐次线性方程组的解.

补充公式：

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