一、认识向量
标量：例如1、2、3等一个具体的数值。
向量：在3D笛卡尔坐标中，一个顶点（x,y,z）代表了在空间中的一个位置，在数学思维中，这个顶点就是一个向量。相比标量它不仅有大小，还有方向。
列向量、横向量：当然，向量也分为列向量、横向量。OpenGL中用的是列向量。
-
为什么要使⽤⾏向量？（偏向于书写⽅便）
1.在⽂字中使⽤⾏向量的形式更加好书写；
2.⽤矩阵乘法实现坐标系转换时，向量左乘矩阵的形式更加⽅便
3.DirectX使⽤的是⾏向量 -
为什么要使⽤列向量？
1.等式中使⽤列向量形式更好
2.多本计算机图形学都是使⽤的列向量
4.OpenGL 使⽤的是列向量
零向量：
负向量：相当于一个向量 * -1 得到一个大小一样，方向相反的向量。主要就是用于拿到一个反方向的向量，例如回弹效果。
单位向量：长度为1的向量就是单位向量。例如:[1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1]
标准化向量：如果一个向量不是单位向量，那我们把它缩放到1的过程就是标准化。
- 标准化向量 ≠ 单位向量。它们只是长度一样，都是1。
二、向量的模
向量的长度也叫向量的摸，计算公式：
三、向量间的计算
1、标量 ✖️ 向量
2、标量 ➗ 向量
注意
- 标量和向量相乘时，不需要写称号。 将2个量挨着写就表示他们相乘，通常把标量写左边
- 标量与向量的乘除法优先级高于加减法
- 标量不能除以向量，并且向量也不能除以另一个向量
- 负向量属于乘法的特殊情况，是向量乘以标量-1
- 乘除法的几何意义：把标量K当做缩放因子，使得整个向量成倍放大或者缩小，或者K=-1，直接调转方向
3、标准化计算
如何单位化向量?
(x / ||xyz||, y / ||xyz||, z / ||xyz||); （注：||xyz||就是这个向量的长度）
使⽤⼀个⾮零向量除以它的模, 就可以得到⽅向相同的单位向量;
4、向量间的加减法
注意
- 向量不能与标量或者维度不同的向量进行相加减
- 跟小学数学一样，加法满足交换律，减法不满足（除了两个向量相等的情况，可以硬说成满足）
- 加减法的几何意义：平移两个向量，让向量A的头连接向量B的尾，然后从A的尾指向B的头画一个向量，这就是向量加法的‘三角形法则’。减法与之类似。
5、向量之间的距离计算
6、向量点乘
点乘：求两个向量直接的夹角，两个向量点乘的结果是一个标量。
image.png
7、向量叉乘
-
任意向量叉乘自身，都等于零向量
image.png
image.png
image.png
8、练习一下
四、OpenGL中的向量
1、向量
在OpenGL中，GLTools 库中有⼀个组件叫Math3d，其中包含了⼤量好⽤的OpenGL ⼀致的3D数学
和数据类型。
math3d库，有2个数据类型，能够表示⼀个三维或者四维向量。
M3DVector3f 可以表示⼀个三维向量（x,y,z）
M3DVector4f 则可以表示⼀个四维向量（x,y,z,w)
在典型情况下，w坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w，来进⾏缩放。
//三维向量/四维向量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明⼀个三维向量 M3DVector3f:类型 vVector:变量名
M3DVector3f vVector;
//声明⼀个四维向量并初始化⼀个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
//声明⼀个三分量顶点数组，例如⽣成⼀个三⻆形
M3DVector3f vVerts[] = {
-0.5f,0.0f,0.0f,
0.5f,0.0f,0.0f,
0.0f,0.5f,0.0f
};
2、向量点乘
- 点乘的目的，就是求两个向量之间的夹⻆;
在OpenGL中，其实不需要我们进行计算，只需要调用对应的API即可拿到结果：
//1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
//2.m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹⻆的弧度值;
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
3、向量叉乘
- 2个向量之间叉乘就可以得到⼀个与原来2个向量定义的平⾯相垂直
- 叉乘不满足交换律。V1 * V2 和 V2 * V1结果可能会不一样
同样，我们只需要调用API即可：
//m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到⼀个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const M3DVector3f v);
网友评论