电脑跑程序的时候，瞎翻文献翻到了这篇“A note on Separability of Field Equations in Myers-Perry Spacetimes”。
他们研究了5维的旋转黑洞的背景下，解了标量，矢量还有张量的场论方程。
让我大吃一惊呀，怎么办到的？
高维旋转黑洞背景的场方程，去年才由Oleg做出了一些突破，我自己也重复了Oleg的工作，是一个很复杂的过程。
解偏微分方程可能是物理学家一个主要工作之一。其中几乎是唯一的办法就是分离变量，分离变量之后，偏微分方程变成常微分方程，然后就可以交给计算机了。
首先，循环坐标可以直接分离。对于标量场方程，如果剩下的坐标也可以分解，就说明，这个背景具有Killing tensor，反过来也成立。比如球对称的黑洞背景，t和phi是循环坐标，可以分离。还剩下r和theta。其实我一直奇怪为什么这两个坐标也一定会分离呢？后知后觉地可以想，当然是存在Killing tensor了。今天的这篇文章给了我一个新思路去想这个问题。
文章的核心思想
5维的转动黑洞可以存在两个方向的角动量（因为有两个垂直的平面），当两个角动量相等的时候，原本空间的对称性就加强为SU(2)x U(1)。然后metric的一部分就可以用SU(2)群的3个invariant forms 来表示。可以考虑标量场的作用量，在里面的metric的逆 会有一部分由invariant form 对应的微分算符来表示。这时我们把标量场按SU(2)的不可约表示分解，这样微分算符就对应了一些矩阵，矩阵对于标量场，刚好是对角的。这就说明不同不可约表示对应的态是分离的。这样我们就成功的把可以有SU(2)转动的部分完全分离出来了，还剩下t,r两个坐标，t还是循环坐标，这样就完成了所有的分离。
矢量的分离更有意思，因为矢量有很多分量。这个就很巧妙，每个微分算符对应一个向量，他们构成了一组基，先把矢量投影到这组基上。然后再对不可约表示展开，这时引入一个twist，大概意思就是根据不同的分量，这个展开做一些相应的调整，最后可以吧微分算符对角化。这个太巧妙了。
有点像解常微分方程时，我们用级数展开的方法求解。方程里面有函数，函数的一阶导数，二阶导数等。然后我们展开的时候就相应的shift系数的指标把多项式的幂次对齐。
回答之前的疑问
对于4维的球对称黑洞，有两个角度坐标，对称性是SO(3), SO(3)群也有3个invarint forms，数目好像不匹配，就是不能把这两个角度坐标的部分写成invarint form的形式。但是呢，我们考虑一个coset SO(3)/SO(2)，然后考虑这个coset的不可约表示。这就确保了变量分离
最后的白日梦
是不是所有的Killing tensor给出的分离变量都可以通过coset来实现。
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