今天是各类统计方法R语言实现的第五期，我们主要介绍简单线性回归、多项式回归。
基础知识
什么是回归？
回归分析指用一个或多个自变量来预测因变量的方法。
简而言之，就是用已知的变量预测未知的变量，比如临床模型构建，常常使用的是回归来构建。
在医学中，Elisa等多种实验的标准曲线绘制使用的就是回归的的方法。
回归能做什么？
①挑选与因变量相关的自变量。
②描述自变量与因变量的关系。
③通过自变量预测因变量。
常见回归类型汇总
QQ图片20200414171621.png
（引自R语言实战（第二版）） 未来我们将介绍其中大部分方法。
简单线性回归（最小二乘法）
基础概念
最小二乘法的目的：使得回归模型的预测值与真实值的差值最小，具体表现为残差平方和最小。
简单线性模型：回归模型包含一个自变量和一个因变量，且二者成线性。
使用最小二乘法构建简单线性回归模型的假设：
①正态性：对于固定自变量，因变量成正态分布。
②独立性：因变量取值相互独立。
③线性：自变量和因变量之间为线性相关。
④同方差性：因变量方差不随自变量的水平不同而变化。
使用lm()构建回归模型常用符号与代码
A9@(C@SB0G6ZI8M5GO49N6Q.png
VR61F@8C@ZJWVKH6PZ5SI%8.png
（引自R语言实战）
数据输入
使用的数据自变量为身高（英寸），因变量为体重（磅），首先构建简单线性模型
data(women)
summary(women)
## height weight
## Min. :58.0 Min. :115.0
## 1st Qu.:61.5 1st Qu.:124.5
## Median :65.0 Median :135.0
## Mean :65.0 Mean :136.7
## 3rd Qu.:68.5 3rd Qu.:148.0
## Max. :72.0 Max. :164.0
代码展示
#模型拟合
fit<-lm(weight ~ height,data = women)
##展示模型
summary(fit)
##
## Call:
## lm(formula = weight ~ height, data = women)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.7333 -1.1333 -0.3833 0.7417 3.1167
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -87.51667 5.93694 -14.74 1.71e-09 ***
## height 3.45000 0.09114 37.85 1.09e-14 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.525 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.991, Adjusted R-squared: 0.9903
## F-statistic: 1433 on 1 and 13 DF, p-value: 1.091e-14
##利用模型计算预测值
fitted(fit)
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 112.5833 116.0333 119.4833 122.9333 126.3833 129.8333 133.2833 136.7333
## 9 10 11 12 13 14 15
## 140.1833 143.6333 147.0833 150.5333 153.9833 157.4333 160.8833
#计算每一个预测值与实际值之间的差值，即残差
residuals(fit)
## 1 2 3 4 5 6
## 2.41666667 0.96666667 0.51666667 0.06666667 -0.38333333 -0.83333333
## 7 8 9 10 11 12
## -1.28333333 -1.73333333 -1.18333333 -1.63333333 -1.08333333 -0.53333333
## 13 14 15
## 0.01666667 1.56666667 3.11666667
#可视化
plot(women$height,women$weight,
xlab="Height （in inches）",
ylab="Weight（in pounds）")
abline(fit)
image.png
结果解读：
构建的模型为Y=-87.51667+3.45X，由于身高不可能为0，因此截距项没有实际意义。回归系数p=1.09e-14，非常显著。表明身高每增高1英寸，体重将预期增加3.45磅。
R方为0.991，表示模型可以解释99.1%的方差。
从图形中可以看出可以用曲线提高预测精度，所以我们接下来尝试多项式回归。
多项式回归（最小二乘法）
多项式回归模型的关系为n阶多项式，我们首先尝试二次项
#二次项模型拟合
fit2<-lm(weight ~ height + I(height^2),data = women)
##展示模型
summary(fit2)
##
## Call:
## lm(formula = weight ~ height + I(height^2), data = women)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.50941 -0.29611 -0.00941 0.28615 0.59706
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 261.87818 25.19677 10.393 2.36e-07 ***
## height -7.34832 0.77769 -9.449 6.58e-07 ***
## I(height^2) 0.08306 0.00598 13.891 9.32e-09 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.3841 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9995, Adjusted R-squared: 0.9994
## F-statistic: 1.139e+04 on 2 and 12 DF, p-value: < 2.2e-16
##利用模型计算预测值
fitted(fit2)
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 115.1029 117.4731 120.0094 122.7118 125.5804 128.6151 131.8159 135.1828
## 9 10 11 12 13 14 15
## 138.7159 142.4151 146.2804 150.3118 154.5094 158.8731 163.4029
#计算每一个预测值与实际值之间的差值，即残差
residuals(fit2)
## 1 2 3 4 5 6
## -0.102941176 -0.473109244 -0.009405301 0.288170653 0.419618617 0.384938591
## 7 8 9 10 11 12
## 0.184130575 -0.182805430 0.284130575 -0.415061409 -0.280381383 -0.311829347
## 13 14 15
## -0.509405301 0.126890756 0.597058824
#可视化
plot(women$height,women$weight,
xlab="Height（in inches）",
ylab="Weight（in lbs）")
lines(women$height,fitted(fit2))
image.png
可以看到模型方差解释度为 0.9995，二次项显著，表明对于该数据多项式回归拟合效果更好。
#二次项模型拟合
fit3<-lm(weight ~ height + I(height^2)+ I(height^3),data = women)
##展示模型
summary(fit3)
##
## Call:
## lm(formula = weight ~ height + I(height^2) + I(height^3), data = women)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.40677 -0.17391 0.03091 0.12051 0.42191
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -8.967e+02 2.946e+02 -3.044 0.01116 *
## height 4.641e+01 1.366e+01 3.399 0.00594 **
## I(height^2) -7.462e-01 2.105e-01 -3.544 0.00460 **
## I(height^3) 4.253e-03 1.079e-03 3.940 0.00231 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2583 on 11 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9998, Adjusted R-squared: 0.9997
## F-statistic: 1.679e+04 on 3 and 11 DF, p-value: < 2.2e-16
##利用模型计算预测值
fitted(fit2)
## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 115.1029 117.4731 120.0094 122.7118 125.5804 128.6151 131.8159 135.1828
## 9 10 11 12 13 14 15
## 138.7159 142.4151 146.2804 150.3118 154.5094 158.8731 163.4029
#计算每一个预测值与实际值之间的差值，即残差
residuals(fit3)
## 1 2 3 4 5 6
## 0.361437908 -0.406769374 -0.188012641 -0.007807225 0.108331538 0.134888314
## 7 8 9 10 11 12
## 0.046347770 -0.182805430 0.421913381 -0.165011133 0.030905696 -0.015851469
## 13 14 15
## -0.330797960 0.060550887 0.132679739
#可视化
plot(women$height,women$weight,
xlab="Height（in inches）",
ylab="Weight（in lbs）")
lines(women$height,fitted(fit3))
image.png
可以看到模型方差解释度为 0.9998，三次项显著，效果也不错。
好了，今天的R语言实现统计方法系列推文暂时告一段落，我们下次再见吧！ 小伙伴们如果有什么统计上的问题，或者如果想要学习什么方面的生物信息内容，可以在微信群或者知识星球提问，没准哪天的推文就是专门解答你的问题哦！
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