结论

矩阵A的列空间是整个 $R^m$ 的要求，意味着A至少有m列，即n≥m。否则，A列空间的维数会小于m。
如果一个矩阵的列空间涵盖整个 $R^m$ ，那么该矩阵必须包含至少一组m个线性无关的向量。这是式Ax = b对于每一个向量b的取值都有解的充分必要条件。值得注意的是，这个条件是说该向量集恰好有m个线性无关的列向量，而不是至少m个。
不存在一个m维向量的集合具有多于m个彼此线性不相关的列向量，但是一个有多于m个列向量的矩阵有可能拥有不止一个大小为m的线性无关向量集。
要想使矩阵可逆，我们除需要矩阵A有m个线性无关的列向量外还需要保证式Ax = b对于每一个b值至多有一个解。为此，我们需要确保该矩阵至多有m个列向量。否则，该方程会有不止一个解。
一个列向量线性相关的方阵被称为奇异的（singular）。如果矩阵A不是一个方阵或者是一个奇异的方阵，该方程仍然可能有解。但是我们不能使用矩阵逆去求解。
如果逆矩阵 $A^{-1}$ 存在，那么式Ax = b肯定对于每一个向量b恰好存在一个解。但是，对于方程组而言，对于向量b的某些值，有可能不存在解，或者存在无限多个解。存在多于一个解但是少于无限多个解的情况是不可能发生的。
如果矩阵A可逆，则方程一定有且仅有一个解。（注意A可逆是充分不必要条件）

注：
①A是一个矩阵，其形状为m × n。x和b分别是维度为n和m的向量。矩阵A可以看成n各m维向量的集合。b即为A的列向量的线性组合，组合的系数即为x中的各元素。
②一组向量的生成子空间（span）是原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。确定Ax = b是否有解，相当于确定向量b是否在A列向量的生成子空间中。这个特殊的生成子空间被称为A的列空间（column space）或者A的值域（range）。
③如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合，那么这组向量称为线性无关（linearly independent）。

问答

Q：结论1中为什么A至少要有m列？
A：假设A是一个3×2的矩阵。目标b是3维的，但是x只有2维。所以无论如何修改x的值，也只能描绘出 $R^3$ 空间中的二维平面。当且仅当向量b在该二维平面中时，该方程有解。
Q：结论3中为什么说一个“不存在一个m维向量的集合具有多于m个彼此线性不相关的列向量”？
A：由结论2可知如果一个m维向量的集合拥有m个彼此线性不相关的列向量，则这些列向量的线性组合可以覆盖 $R^m$ 中的任何一点，所以如果有m+1个彼此线性不相关的列向量，则多出来的1个列向量一定可以由前m个列向量线性表示。
Q：结论4中为什么需要矩阵A最多有m个列向量？
A：如果矩阵A既有m个线性无关的列向量且A的列向量个数大于m,则由结论3可知A可能拥有不止一个大小为m的线性无关向量集，每个线性无关向量集都可以通过线性组合得到向量b,则方程组的解一定不唯一。
Q：如何解释结论7？
A：A可逆，则可解得x为 $A^{-1}b$ ,如果方程解不唯一，则存在x $\neq A^{-1}b$ ，则Ax $\neq b$ ，所以方程有唯一解。