【矩阵】13、矩阵的运算2

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-01-30 21:45 被阅读0次

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矩阵的运算2.png

一、练习答案

1、矩阵 $A=\left( \begin{array}{cccc} cos \phi&-sin \phi \\ sin \phi&cos \phi \\ \end{array} \right)$

$AA=\_\_\_\_$

$AA= \left( \begin{array}{cccc} cos \phi cos \phi+(-sin \phi)sin\phi,&cos \phi(-sin \phi)+(-sin \phi)cos \phi \\ sin \phi cos \phi+cos \phi sin \phi,& sin \phi (-sin \phi)+cos \phi cos \phi \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{cccc} cos^{2} \phi - sin^{2} \phi,& -2 cos \phi sin \phi\\ 2sin \phi cos \phi,& cos^{2} \phi -sin^{2} \phi \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{cccc} cos2 \phi & -sin2 \phi\\ sin2 \phi & cos2 \phi \end{array} \right)$

2、 $a_{1} \cdots a_{n} \neq 0$ ,对角阵 $A= \left( \begin{array}{cccc} a_{1}&& \\ &\ddots& \\ &&a_{n} \end{array} \right)$ ， $B= \left( \begin{array}{cccc} \frac {1} {a_{1}}&& \\ &\ddots& \\ && \frac {1} {a_{n} } \end{array} \right)$

$AB=\_\_\_\_$

$AB= \left( \begin{array}{cccc} 1&& \\ &\ddots& \\ && 1 \end{array} \right) =E$

二、知识点

1、方阵的正整数幂

$A^{k}=AA \cdots A$

$A^{0}=E$

$A^{k+l}=A^{k}A^{l}$

$(AB)^{k} \neq A^{k}B^{k}$

$(AB)^{k} = A^{k}B^{k}$ 成立的条件： $AB=BA$ （矩阵中是不成立的）

2、矩阵的转置

$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{array} \right)$

$A^{T}=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1} \\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\\ \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cccc} a_{11}& &\\ &\ddots& \\ &&a_{nn} \end{array} \right)^{T} =\left( \begin{array}{cccc} a_{11}& &\\ &\ddots& \\ &&a_{nn} \end{array} \right)$
对角阵的转置等于自己。

2.1 运算规律

$(A^{T})^{T}=A$

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

$(kA)^{T}=kA^{T}$

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

证明 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ ：

$A=(a_{ij})_{m \times s} \quad B=(b_{ij})_{s \times n}$

$A^{T}=(a_{ji})_{s \times m} \quad B^{T}=(b_{ji})_{n \times s}$

$C=AB=(c_{ij})_{m \times n} \quad B^{T}A^{T}=(d_{ij})_{n \times m}$

$c_{ji}=d_{ij}?$

$c_{ji}=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+ \cdots +a_{js}b_{si}$

$d_{ij}=b_{1i}a_{j1}+b_{2i}a_{j2}+ \cdots +b_{si}a_{js}$

$c_{ji}=d_{ij}$ 也就是 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ $(ABC)^{T}=C^{T}B^{T}A^{T}$

3、对称阵与反对称阵

如果一个矩阵，它的转置和它本身相等，我们就把这个矩阵叫做对称阵。

对称阵： $A^{T}=A \quad a_{ij}=a_{ji}$
对称阵有： $AA^{T},A^{T}A,A+A^{T}$
证明 $AA^{T}$ 为对称阵： $(AA^{T})^{T}=(A^{T})^{T}A^{T}=AA^{T}$

反对称阵： $A^{T}=-A \quad a_{ij}=-a_{ji}$ 且 $a_{ii}=0$
反对称阵有： $A-A^{T}$
证明 $A-A^{T}$ 为反对称阵： $(A-A^{T})^{T}=A^{T}-(A^{T})^{T}=A^{T}-A=-(A-A^{T})$

$A=\frac {A+A^{T}} {2}+\frac {A-A^{T}} {2}$
任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和。

反对称阵： $A^{T}=-A$ 怎么说明 $a_{ii}=0?$

三、练习

1.设矩阵A与B为同阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件为AB=BA
2.矩阵 $A=\left( \begin{array}{cccc} cos \phi&-sin \phi \\ sin \phi&cos \phi \\ \end{array} \right)$ 的幂 $A^{n}=?$

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