编者按：国庆期间，遇到一道用截长补短法证明的几何题，是一道非常典型的题目，对于初学者来说，还是具有一定的难度，主要体现在分析方法上。为了让学生更好地接受，我对这道题进行了改编。算是我对如何引导学生分析几何证明题的一点点思考吧。
原题：我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等，但是我们会碰到一些“和差”问题：如图1所示，AD为△ABC的高，∠ABC=2∠C，求证CD=AB+BD。对于这样的问题，我们可以用“截长补短”的方法，将问题转化为证明两条线段相等的问题。具体操作如下：如图2所示，在长线段CD上截取DE=BD，连接AE。易证，△ABD≌△AED，继而可得AB=AE。此时，若能证明AE=EC，即可证明CD=AB+BD。请根据提示，完善证明过程。
最初看到这道题时，觉得设置挺好的，对于学生而言，第一次遇到证明和差的问题，绝大多数都会陷入迷茫状态，不知如何思考。但题干中既然提到了“截长补短”，为什么只给出了“截长”的方法，却忽略了“补短”的思路呢？
于是我模仿着给出了“补短”的提示。
补短法1：如下图所示，延长DB至E，使EB=AB，此时有AB+BD=EB+BD=ED，若能证明线段ED=CD，则可证明CD=AB+BD。请根据提示，完善证明过程（注意：从提示中的作辅助线开始，写出完整的证明过程）
补短法1：AB=BE
改编完以后，觉得意犹未尽，除了延长DB以外，能不能延长AB呢？需要说明的是，这种思路会比较麻烦一些，需要作更多的辅助线，但我觉得还是有意义的。主要体现在思考方式上——如何通过构造全等三角形来证明两条线段相等。关键点有二：其一，如何分析现有情况无法寻找到全等三角形，寻找本身不难，重点是要有这方面的意识，如果没有现成的三角形，要么换方法，要么根据已知条件合理构造；其二，当然就是如何根据已有条件，合理地构造全等三角形了。
补短法2：如下图3所示，延长AB至E，使BE=BD，此时则有AB+BD=AB+BE=AE，若能证明AE=DC，则原结论可证。
若要证明线段相等，最常用的方法还是利用三角形全等，但此时图中并没有包含AE、DC在内的全等三角形（可尝试思考为什么没有）。
此时，我们可以主动构造全等三角形，具体做法如图4所示，我们过A点作AF⊥AE，交ED的延长线于F，可得△AEF≌△ACD。
请根据提示，完善证明过程（要求：从提示中的做辅助线开始，写出完整的证明过程），同时思考，为什么要这样作辅助线。
首先，以DC为边的三角形只有一个，还是直角三角形，同样地，以AE为边的三角形也只有一个，但不是直角三角形，所以，就不要空耗时间了，要么转换思路，要么构造全等三角形。
其次，如果要用全等证，考虑DC在一个直角三角形中，根据全等三角形的对应关系，AE也应在一个直角三角中，且为较长的直角边，所以，尝试作AE的垂线。接下来的问题就是垂线段要多长，考虑到∠C=∠E，所以延长ED就可以了。这里有两点需要注意：（1）∠E=∠C的条件要能由已知推出来；（2）作辅助线时，要假设AE=DC成立，也就是说，在AE=DC成立的基础上，这样作出来的三角形一定全等，直角=直角，∠E=∠C，加上待证结论，必然全等。即，要能意识到，这样子作出来的三角形一定全等，不要怀疑，大胆的去凑条件吧（后面会讨论一种略尴尬的情况）。
最后，就是凑全等条件了，上面已经分析了2个对应角相等，此时还需要加一条边。待证的AE=DC自然不能用，那就剩下AF=AD和EF=AC了。对比之下，显然AF=AD更容易一下。此时将目标转向求证AF=AD。考虑到它们在一个三角形中，可以尝试证明∠ADF=∠AFD。∠AFD=∠AFE，与∠E互余，∠ADF与∠FDC互余，而∠FDC=∠BDE=∠E（等腰三角形外角模型，真的很重要，很隐晦……）。
说实话，还是有些复杂的，不过就如我最开始所说，重要的是思路：如果根据已有条件构造全等三角形，能构造出来，基本上就能证明，构造不出来，就考虑换方法。我也深知有难度，所以给出了提示，并以挑战作业的形式下发，没想到班里还是由几个同学做出来了。其实，我更在意的，是学生有没有真正领会到思路……
针对补短法2再啰嗦几句，证明线段相等，是几何证明题中非常非常典型的一类题型。常用的方法大致包含以下几种：
（1）若待证线段位于同一三角形之中，可以通过等角对等边来证明。
（2）如果待证线段不在同一三角形中，最常用的方法还是全等三角形，有现成的当然最好，如果没有现成的，就需要根据已有条件去构造。
（3）寻找中间量，这种情况经常与前两种深度结合。有时中间量与其中一条线段在同一三角形中；如果不再同一三角形中，就需要通过全等，这一情况有一类非常典型的题型：通过构造等边三角形找中间量，再通过全等去证相等。
（4）其他小众解法：等面积法，求出具体数据证相等，相似（中间量）等等。
说了一大堆，还是要借助具体的题目才更清晰，有时特殊的题型会有相对应的具体的思考方式，比如倍长中线，我们就此打住，继续看其他解法。
补短法3：之前的两种补短方式是“和”的思路，那能不能用“减”的思路呢？
如图所示，延长DB至E，使ED=CD，则EB=DC-BD，此时若能证明AB=BE，则可证明原结论。
请根据提示，完善证明过程 。
补短法3：ED=CD
既然可以“减BD”，那能不能“减EB”呢？
补短法4：如下图所示，我们仿照上一题，延长AB至E，使AE=DC，则AE-AB=EB，此时若能证明BD=BE，则可证明原结论。你能用这种方法证明吗？
补短法4：AE=DC
还是简单分析一下吧，要想证明EB=BD，需要证明∠E=∠BDE，那如何证明呢？结合本题条件，可行的思路是证明∠E=1/2∠ABD，再往前一步就是证明∠E=∠C。
如果要想往远的扯，这就涉及到了另一个几何中非常非常常见的题型：证明角度相等。仿照前面分析证明线段相等，要是有心总结，其实不难得到分析方法，就此略过，直接分析本题。
在本题中，证明∠E=∠C的常见思路，还是构造全等三角形。结合前面的分析：
首先，不存在现成的包含两个角在内的全等三角形，要么换方法，要么根据已知条件构造全等三角形；
其次，已知条件有AE=DC，以及包含∠C的直接三角形等，就可以在假定的∠E=∠C基础上，以∠E为角，AE为斜边，构造直角三角形。最后的结果与前面的图一样，算是殊途同归吧，但要注意！图虽然一样，但条件变了，至于带来的后果，我们后面会说到。
最后，凑条件，证全等，此时已有的条件是一边（AE=AC），一角（∠EAF=∠ADC）。此时可以有4条路：（1）如果根据SAS，需要补充AF=AD；（2）如果根据ASA，需要补充∠E=∠C，显然不行，直接pass；（3）如果根据AAS，需要补充∠F=∠CAD；（4）如果要根据HL，则需要补充AC=EF。
除了明显不行的（2）之外，其余逐一分析。
求证AF=AD。补短法2里虽然证明过，但请注意，此时∠C=∠E成了待证结论，所以无法证明AF=AD了，此方法失效。
求证∠F=∠CAD。仿佛还是需要通过等角的余角相等，结果还是绕不开∠C=∠E。其实吧，只要证明了∠F=∠CAD，哪里还需要证三角形全等，直接就可以得到∠C=∠E了。看来这种方法也不行。
求证AC=EF。看着都头大，难不成为了证明这个线段相等，再去分析一遍如何证明线段相等？其实，一方面，几何证明题不会多次套娃，另一方面，即便是分析一边，结果往往还是不行。
综上分析，补短法4貌似不能证明。不过这种尝试也是有意义的，还是我之前所说的，这也是一次分析方法的锻炼。并且两种方法（补短法1与补短法4）对比，还可以给我们一个启示：看似同样的辅助线，如果做法不同，会带来完全不同的结果。再具体一点，即便做出了同样的辅助线，如果做法不同，会得到不同的条件，最终引向不同的结局。
这就需要我们更深层次的思考，如何作有效的辅助线，这里出现的两种不同的结局。知道结论正确，就是证不出来，这种情况，其实就是隔了一层窗户纸，如果遇到了，就想想是不是辅助线的做法出了问题（注意是做法，还是同样的线段）。写到这里，不禁让我想到了之前学生遇到的一个问题。为了偷懒，我直接截图了，图中的红字就是分析。
有效的辅助线
一顿乱扯，到这里终于可以结尾了。
（1）这道题有些难度，初学时，可适当提供台阶；
（2）注重培养学生的思维，以终为始，尽量引导学生以探究的方式，不要直接告知（但是好难啊）；
（3）思考方式很重要，一题多解很重要，同样的方法在这道题例很复杂，在另一道题里或许就很简单；
（4）总有一些题，值得细细品味，抛掉时间、效率，抛掉所谓的复杂，单纯的享受思维、分析的乐趣，并从中有所收获——需要学生有意识的反思、总结；
（5）考虑到班级实际情况，我并没有在班级统一讨论，呵呵，以后也许会补上；
（6）异曲同工的一道题（涉及了中间量证相等）：如下图，在△ABC中，∠B= 2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD = AC。
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