伴随矩阵和逆矩阵

伴随矩阵和逆矩阵

作者: spraysss | 来源:发表于2019-01-27 14:39 被阅读0次

伴随矩阵和逆矩阵
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逆矩阵

$A^*=\begin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{21}}&{\cdots}&{A_{n1}}\\ {A_{12}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{n2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\dots}&A_{nn}\end{pmatrix}$
为n阶方阵A的伴随矩阵

有 $A^*A=AA^*=(detA)I$

$AA^*=\begin{pmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\dots}&a_{nn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} {A_{11}}&{A_{21}}&{\cdots}&{A_{n1}}\\ {A_{12}}&{A_{22}}&{\cdots}&{A_{n2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\dots}&A_{nn}\end{pmatrix}=(detA)I$

逆矩阵

方阵可逆的充要条件是行列式不等于0
$A^{-1}=\frac{A^*}{detA}$

Gramer法则

设A可逆，则AX=b的唯一解为
$x_j=\frac{detA_j}{detA}$
$detA_j$ 是用b代替方阵A的第j列得到的行列式

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