半加器、全加器及其应用

半加器、全加器是组合电路中的基本元器件，也是CPU中处理加法运算的核心，理解、掌握并熟练应用是硬件课程的最基本要求。本文简单介绍半加器、全加器，重点对如何构造高效率的加法器进行分析。

半加器和全加器

所谓半加器，是指对两位二进制数实施加法操作的元器件。其真值表、电路图和逻辑符号分别如下图所示：

半加器真值表

根据真值表，其输入输出之间的对应关系为：

S = A!B + !AB (!号表示逻辑非)
C = AB

与非门组成的半加器逻辑符号 半加器逻辑符号

从半加器的真值表、电路图可以看出，半加器只能对单个二进制数进行加法操作，只有两个输入，无法接受低位的进位，因此称为半加器。

对此，全加器则解决了这个问题，全加器有三个输入（包括来自低位的进位），两个输出，其对应的真值表、电路图和逻辑符号如下所示：

全加器真值表 全加器电路图：摘自电子开发社区 全加器逻辑图

加法器的构造

有了全加器，构造加法器就非常容易了，假设有A₃A₂A₁A₀和B₃B₂B₁B₀，利用全加器构造A₃A₂A₁A₀+B₃B₂B₁B₀的串行进位加法器电路图如下图所示：

串行进位加法器

图中的C_-1=0，因为已是最低位，没有进位。这种串联方法只是完成了基本功能，从效率上则完全不可行。

分析：假设全加器中每个元器件的时延为t，则全加器的时延为2t（见全加器电路图），对于4位加法器，按照这种串联方法，加法器构造方法1中图中最右边（最低位）全加器计算完成后，才能计算右二个全加器，以此类推。因此，4位加法器至少需要4*2t=8t的时延；如果是32位，则是64t的时延。显然，这种加法器的效率与参与计算的二进数长度成正比，数越长，时延越长。在现代计算机中，是不可能采用如此低效的加法器的。

那如何做呢？其实方法挺简单的，只需要把C_i和参与运算的两个4位二进制数之间的关系梳理清楚就行了。直接用代入法展开得：

设G_i= A_iB_i, P_i = !A_iB_i + A_i!B_i
C₀ = C_in
C₁=G₀ + P₀·C₀
C₂=G₁ + P₁·C₁ = G₁ + P₁·G₀ + P₁·P₀ ·C₀
C₃=G₂ + P₂·C₂ = G₂ + P₂·G₁ + P₂·P₁·G₀ + ·P₁·P₀·C₀
C₄=G₃ + P₃·C₃ = G₃ + P₃·G₂ + P₃·P₂·G₁ + P₃·P₂·P₁·G₀ + P₃·P₂·P₁·P₀·C₀
C_out=C₄

在这个关系式里，直接列出了4位二进制加法的最终进位，不用等待低位计算完了，再计算高位，而是直接进行计算，最终得到的超前进位加法器电路图如下所示：

超前进位加法器

假设超前进位加法器中的每个门时延是t，对于4位加法，最多经过4t的时延，而且，即使增加更多的位数，其时延也是4t。

对比串行进位加法器和超前进位加法器，前者线路简单，时延与参与计算的二进制串长度成正比，而后者则是线路复杂，时延是固定值。通常，对于32的二进制串，可以对其进行分组，每8位一组，组内加法用超前进位加法器，组间进位则用串行进位。采用这种折中方法，既保证了效率，又降低了内部线路复杂度。