62. 不同路径(medium)

一个机器人位于一个 *m x n *网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
   示例 2:
   输入: m = 7, n = 3
   输出: 28

• show the code:

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0]*n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

• 此题是经典的DP题，关键是找出状态转移式：
  dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
• 其中dp矩阵用来存储路径数，dp[i][j]即为到达i,j位置的路径数
• 另外注意DP矩阵第一行以及第一列的元素均为1，因为到达边界的路径数只可能为1.
• 此题可以有空间上优化，即不需要存储所有的路径数，存一下i-1,j和i,j-1位置的就可以了。

时间复杂度:mn，空间复杂度:mn