【初中数学思维训练】第2套

作者: 无悔客qiqiblog | 来源:发表于2019-05-10 17:19 被阅读4次

1、本系列训练专门针对数学水平优异的初中生

2、本系列试题解题思维与解题技巧难度较大

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1、若 $x 、 y 、 z$ 均为实数 , 且满足

$\frac{xy}{(y+z)(z+x)}+\frac{yz}{(z+x)(x+y)}+\frac{zx}{(x+y)(y+z)} =1$

则 $x 、 y 、 z$ 的取值情况是 ( 　 ) .

(A) 全为正数　　 (B) 全为非负数

2、如图 , 在钝角 $△ ABC$ 中 , $BC = 1 , ∠ A= 30 °$ , $D$ 为边 $BC$ 的中点 , $G$ 为 $△ ABC$ 的重心 . 若 $B 、 C$ 为定点 , 当点 $A$ 运动时 , 线段 $GD$ 长度的取值范围是 ( 　) .

(A) $0 < GD ≤\frac{\sqrt{13} }{6}$ (B) $\frac{1}{6} < GD <\frac{\sqrt{13} }{6}$

3、设 $a 、 b$ 为正整数 , 且 $a + b 、 a +5 、 b -2$ 是某个直角三角形的三边长 . 则正整数对 $( a , b )$ 的个数是 ( 　　 ) 个 .

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

4、已知抛物线 $y = ax^2+ bx + c ( a> 0)$ 与直线 $y = k ( x - 1) -\frac{k^2}{4}$ .无论 k 取任何实数 ,此抛物线与直线都只有一个公共点 . 那么 , 抛物线的解析式是 ( 　 ) .

(A) $y =x^2$ (B) $y = x^ 2 - 2 x$

5、若 $x$ 为实数 , 记 $\left\{ x \right\} = x - [ x ]$ （ $[ x ]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数） ,则方程 $2 006 x +\left\{ x \right\} =\frac{1}{2007}$ 的实根的个数是 ( 　 ) .

(A)0 (B)1 (C)2 (D) 大于 2 的整数

6、如图 , 正方形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ , $P$ 为劣弧 $CD$ 上一点 , $PA$ 交 $BD$ 于点 $M$ , $PB$ 交 $AC$ 于点 $N$ , 记 $∠ PAC =θ$ . 若 $MN ⊥ PA$ , 则 $2cos2 θ - tanθ$ 的值等于 ( 　 ) .

(A) $1$ (B) $\frac{\sqrt{2} }{2}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{\sqrt{2} }{4}$

7、已知 $x 、 y$ 为实数 , 且满足 $(x+\sqrt{x^2+2008} )(y+\sqrt{y^2+2008} )=2008$ .求 $x^2- 3 xy - 4 y^2- 6 x - 6 y + 2 008$ 的值。

8、设实数 $a 、 b 、 c$ 满足 $a + b + c = 0 , abc = 2$ ，求 $u = | a |^3+ | b |^3+ | c |^3$ 的最小值。

9、在直角坐标平面内 , 已知 $A( -\sqrt{3} ,0)、B (\sqrt{3} ,0)$ 。点 $P$ 在直线 $y =\frac{\sqrt{3} }{3} ( x + 4) + 1$ 上运动 . 当 $∠ APB$ 最大时，求 $\frac{PA}{PB}$ 的值。

10、设 $Rt △ ABC$ 的三边长分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $a < b < c$ . 若 $\frac{b}{c+a} +\frac{a}{c+b} =\frac{17}{20}$ ，求 $a:b:c$ 的值。

11、已知 $m 、 n$ 均为正整数 , 且 $m> n$ , $2 006 m^2+ m = 2 007 n^2+ n$ .问 $m - n$ 是否为完全平方数 ? 并证明你的结论。

12、如图 , 在梯形 $ABCD$ 中 , $AB// CD , AD = 12 , E$ 是边 $CD$ 上一点 , 且 $\frac{CE}{ED} =\frac{5}{4}$ 。设过 $A 、 B 、 C 、 E$ 四点的 $⊙ O_{ 1}$ 的半径为 $R_{ 1}$ , 过 $A 、 C 、 D$ 三点的 $⊙ O_{ 2}$ 的半径为 $R_{ 2 }$ , 且边 $BC$ 与 $⊙ O_{ 2}$ 相切。