一、时间复杂度的定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们分别给常见的时间复杂度取了非官方的名称，O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n²)叫平方阶，O(logn)对数阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

二、大O阶推导

我们可以通过下面的方法推导出算法的时间复杂度，称之为推导大O阶：

1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶。
3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

以上得到的结果就是大O阶。

2.1 常数阶

int sum = 0,n = 100; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
printf("%d", sum); /* 执行一次 */

假设有如上的一个算法，没学过算法的同学可能会认为该算法的时间复杂度是O(3)，但实际上是O(1)。根据我们的上面的大O阶推导，第一步，用1取代3，就成了1，第二步，该算法根本没有最高阶，所以算法时间复杂度就是O(1)。

假设有如下的算法，其中有十句 sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */

int sum = 0,n = 100; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
printf("%d", sum); /* 执行一次 */

在上面的算法中，代码执行了12行，实际与最初的3行没有差别，因为与问题的本质：n的大小无关，所以最终该算法的时间复杂度仍然是O(1)。

关于上面的两种我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又称为常数阶。

2.2 线性阶

int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

如上面的代码所示，在循环内部的代码，其复杂度是O(1)，重点在于n的大小，它决定循环的次数，则整个算法的时间复杂度是O(n)。

2.3 对数阶

int count = 1;
while (count < n)
{
count = count * 2;
/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

如上代码所示，count的增长速度是每次乘以2，假设count = 10 ，n=100，则有以下等式：

10 * 2 = 20
20 * 2 = 40
40 * 2 = 80

最终就是10 * 2的三次方 = 80。所以我们得到结论 count * 2的x次方 = n，根据大O阶推导，将count用常数1替换，则x = log2n。所以这个循环的时间复杂度是O(logn)。

2.4 平方阶

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}
}

有如上的嵌套循环，其内存循环是一个线性阶，则其时间复杂度是O(n)，外部循环的时间复杂度同样是O(n)，相当于内存的O(n)循环了n次，则此代码的时间复杂度就是O(n²)。

如果有如下的算法：

int i, j;
for (i = 0; i < m; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}
}

上面的时间复杂度就是O(mn)。

下面看一种复杂的情况如何推导其时间复杂度：

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
/* 注意j = i 而不是0 */
for (j = i; j < n; j++)
{
/* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}
}

当i = 0 时，内部执行了n次；当i = 1时，内部执行了n-1，以此类推：

n + (n-1) + (n-2) + .... .... + 1

对以上公式进行转化，首项加尾项是n+1，总共有n个n+1，则等到以下公式:

(n(n+1))/2 = n²/2 + n/2

下面根据大O阶推导：
1）没有加法常数，所以不替换
2）保留最高项，即n²/2
3）去除常数，就是去掉1/2，则等到最终的结果是n²。

如上可以得到一些结论，其实其推导过程不难，难在如何将数列进行转化，如上的等差数列等。

2.5 其他的时间复杂度

除了前面介绍的之外，还有一些其他的时间复杂度。

立方阶：O(n³)
指数阶：2ⁿ
n成对数阶：nlogn
阶乘阶：n!
n的n次方：nⁿ

这些所有的时间复杂度耗时大小如下所示：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

三、算法空间复杂度

空间换时间的方式。

算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求。当不用限定词地使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。

本文重点是时间复杂度，关于空间复杂度就不多做介绍了。