『算法』通过斐波那契函数思考递归调用

最近在系统学习数据结构与算法，初学编程时以练手题的形式见过斐波那契数列，当时仅仅是从「语法」角度进行理解，如今再次见到，从「算法」角度再次思考，多了一层理解。

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斐波那契数列

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*）。
用文字来说，就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。 --《百度百科》

代码实现

如果就定义来实现此数列，要使用到递归函数：

//返回index位置的值
public int fib(int index) {
    if (index<= 2) {
        return 1;
    } else {
        return fib(index- 1) + fib(index- 2);
    }
}

当查询位数较大时，会发现这种递归方法效率非常低，明显这不是一个好的算法。
这里想要分析慢的原因，就要先说下递归调用的四大基本准则：

1. ** 基准情形**：必须总要有某些基准的情形，它们不用递归就能进行求解。

2. ** 不断推进**：对于那些需要递归求解的情形，递归调用必须总能够朝着产生基准情形的方向推进。
3. 设计法则：假设所有的递归调用都能运行。
4. 合成效益法则：在求解一个问题的同一个实例时，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。 _ --《数据结构与算法 -C语言描述》_

这个例子中，就违反了第四条合成效益法则，比如当传入的index大于2时，会运行else语句块。可以发现，当调用fib(index- 1)时，其实内部已经计算了后面要用到的fib(index- 2) ，但是这段运算并没有被使用，而是被抛弃，到了后面又再次调用了fib(index- 2)。这种行为产生了了大量重复运算，使得递归函数效率低下。

那谁说得好：计算任何事情不要超过一次！

明白了这种递归的慢的原因，就可以修改算法，如下：

public int fib(int index) {
    if (index <= 2)
        return 1;

    int f1 = 1;// 前前位
    int f2 = 1;// 前一位
    int fn = 0;
    for (int i = 0; i < index - 2; i++) {
        //这里是换位操作
        fn = f1 + f2;
        f1 = f2;
        f2 = fn;
    }
    return fn;
}

这种写法就可以避免重复的操作与信息浪费。
总之我们在写递归的算法时，一定要按照四个原则来，否则算法可能会有许多不合适的地方。

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