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线性代数笔记08

线性代数笔记08

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-01-20 22:20 被阅读9次

第八节

求Ax=b的通解

增广矩阵：
\begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 &| &b_1 \\ 2 &4 &6 &8 &| &b_2 \\ 3 &6 &8 &10 &| &b_3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 &| &b_1 \\ 2 &4 &6 &8 &| &b_2 \\ 3 &6 &8 &10 &| &b_3 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 &b_1 \\ 0 &0 &2 &4 &b_2-2b_1 \\ 0 &0 &0 &0 &b_3-b_2-b_1 \end{bmatrix}

满足以下条件，有解：
b_3=b_1+b_2

Ax=b 有解，当且仅当b在A的列空间内 b in C(A)

问题：求Ax=b的所有解？

  1. 求一个特解：设所有的自由变量为0，解出主元变量，可以得到特解x_p
  2. 加上 x_{nullspace}
    则x=x_p+x_n就是Ax=b的通解，其中：
    Ax_p=b\\ Ax_n=0

秩为r的mxn的矩阵A(m by n matrix A of rank r)
则 r \leq m,r \leq n

当r=n，列满秩时，则没有自由变量（n-r=0），则N(A)=0,x=x_p， 即如果存在即唯一解
R=\begin{bmatrix} I\\ 0 \end{bmatrix}

当r=m，行满秩时，则Ax=b一定存在，无穷多解
R=\begin{bmatrix} I&F \end{bmatrix}

当r=m=n，则A可逆，R=I

当r < m,r < n时，要么无解，要么无穷多解

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