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如何求解分段函数单调性相关的问题？

如何求解分段函数单调性相关的问题？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-07 20:47 被阅读0次
分段函数中的单调性问题

解题步骤：
第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；
第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；
第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；
第四步 得出结论.

【例】已知函数f(x)=\begin{cases}x^2,&x \in [0,+\infty) \\x^3+a^2-3a+2,&x \in (-\infty,0)\end{cases}在区间(-\infty,+\infty)上是增函数,则常数a的取值范围是 （ ）

A．(1,2) B．(-\infty,1] \cup [2,+\infty]) C．[1,2] D.(-\infty,1) \cup (2,+\infty)

【解析】

若f(x)在(-\infty,+\infty)上是增函数，

易判断f(x)=x^2在区间[0,+\infty)单调递增，

函数f(x)=x^3+a^2-3a+2在(-\infty,0)单调递增，

所以只需满足a^2-3a+2 \leqslant 0，

解得1 \leqslant a \leqslant 2，
所以答案为C

【点评】

本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：

其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；

其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.

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