一.多边形的知识框架图
多边形.jpg
二.多边形的定义与概念
1.定义
由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形
2.概念
边-组成多边形的每一条线段叫做多边形的边
顶点-相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点
内角-多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角
对角线-连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线
外角-多边形内角的一边与另一边反向延长线所组成的角，叫做多边形的外角
外角和-在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和
三.多边形的历史与起源
四.多边形的性质与特性
1.内角
(1)、n边形的内角和等于（n-2）x180--注：此定理适用所有的平面多边形，包括凸多边形和平面凹多边形
(2)、在平面多边形中，边数相等的凸多边形和凹多边形内角和相等。但是空间多边形不适用。可逆用
a..n边形的边=（内角和÷180°）+2；
b.过n边形一个顶点有（n-3）条对角线；
c.n边形共有n×（n-3）÷2=对角线；
d.任意凸形多边形的外角和都等于360°；
e.多边形对角线的计算公式：n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）
(3)、n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形
2.外角
(1)、n边形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°
(2)、多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°
(3)、多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫这个多边形的外角，（这样的产生外角有两个，由于他们相等，但我们通常只取其中一个）
五.多边形的区别与联系
六.多边形的组织与架构
1.多边形的分类
00-前提假设
（1）.有限个点A1、A2、A3、…、An-1、An和线段A1A2、A2A3、…、An-1An的总体，叫做折线
（2）.A1和An叫做这折线的端点；
（3）.A2、A3、…、An-1叫做折线的顶点；
（4）.A1A2、A2A3、…、An-1An叫做折线的段节。
（5）.如果折线的端点和各顶点不在同一平面内，则叫做空间折线；
（6）.如果各顶点和两端点都在同一平面内，就叫平面折线。
（7）.两端点重合的折线，叫做多边形
01--正多边形
A.定义
正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形，也叫正多角形
B.概念
相关概念
a.正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心
b.正多边形的外接圆的半径叫做半径
c.中心到圆内接正多边形各边的距离叫做边心距
d.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角
(1).外接圆
把圆分为n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形，也就是正n边形的外接圆
(2).内切圆
把圆分为m(m≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正m边形，也就是正m边形的内切圆
(3).对称轴
偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点的线段所在的直线，都是对称轴
C.性质
设正n边形的半径为R，边长为an，中心角为αn，边心距为rn，周长为pn，面积为Sn
（1）.αn=360°÷n
（2）.an=2Rsin(180°÷n)——难点1
（3）.rn=Rcos(180°÷n)——难点2
（4）.R^2=r n2+(an÷2)2——难点3
（5）.pn=n×an
（6）.Sn=pn×rn÷2——难点4
02--非正多边形
03--平面多边形
1.由平面折线构成的多边形叫做平面多边形
04--空间多边形
（1）定义
a.由空间折线构成的多边形叫做空间多边形
b.不在同一个平面内的若干线段(至少有四条)，首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，这样组成的图形叫做“空间多边形”。例如，空间四边形就是最简单的空间多边形
（2）性质
A.空间四边形各边的中点是平行四边形的顶点——难点5
B平行四边形的中心与连接四边形对角线中点的线段的中点重合——难点6
C.空间四边形ABCD的对边两两相等，当且仅当它们的对角两两相等——难点7
D.广梅涅劳斯定理——难8
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E.——难点9
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F.——难点10
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G——难点11
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05--凸多边形
1 定义
(1).凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形
(2).凸多边形（Convex Polygon）指如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形
(3).其内角应该全不是优角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上
2 性质
(1).1.凸多边形的内角均小于或等于180°，边数为n（n属于Z且n大于2）的凸多边形内角和为（n－2）×180°，但任意凸多边形外角和均为360°，并可通过反证法证明凸多边形内角中锐角的个数
不能多于3个。
(2).凸多边形所有对角线都在内部，边数为n的凸多边形对角线条数为2-1n(n-3)，其中通过任一顶点可与其余n－3个顶点连对角线
3 判断方法
角度法:判断每个顶点所对应的内角是否小于180度，如果小于180度，则是凸的，如果大于180度，则是凹多边形
凸包法:这种方法首先计算这个多边形的凸包，关于凸包的定义在此不再赘述，首先可以肯定的是凸包肯定是一个凸多边形。如果计算出来的凸多边形和原始多边形的点数一样多，那就说明此多边形时凸多边形，否则就是凹多边形——难点12
顶点凹凸性法:利用以当前顶点为中心的矢量叉乘或者计算三角形的有符号面积判断多边形的方向以及当前顶点的凹凸性：
假设当前连续的三个顶点分别是P1，P2，P3。计算向量P1P2,P2P3的叉乘，也可以计算三角形P1P2P3的面积，得到的结果如果大于0，则表示P3点在线段P1和P2的左侧，多边形的顶点是逆时针序列。然后依次计算下一个前后所组成向量的叉乘，如果在计算时，出现负值，则此多边形时凹多边形，如果所有顶点计算完毕，其结果都是大于0，则多边形时凸多边形-——难点13
辛普森面积法:利用待判别的顶点以及前后两个顶点所组成的三角形，利用辛普森公式计算其面积，如果此三角形面积与整个多边形面积符号相同，那么这个顶点是凸的；如果此三角形面积与整个多边形面积符号不同，那么这个顶点是凹的，即整个多边形也是凹多边形——难点14
06--凹多边形
1.定义
（1）.1.如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形
（2）.其内角中至少有一个钝角
2.实例
四角星
五 角星
六 角形
八.角星
七.多边形的作用与功能
八.多边形的笔记与感言
难点1
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难点2
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难点3
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难点4
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难点5
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难点6
涉及到平行四边形的性质，留到后面讲解四边形的时候再证明
难点7
涉及到三角形相似的性质，留到后讲解三角形的时候再证明
难点8
涉及到射影变换，留到后面讲解射影的时候再证明
难点9
涉及到射影变换，留到后面讲解射影的时候再证明
难点10
涉及到圆的割线性质，留到后面讲解圆的时候再证明
难点11
涉及到向量，留到后面讲解向量的时候再证明
难点12
涉及到集合，向量。留到后面再证明
难点13
涉及到向量，留到后面讲解向量的时候再证明
难点14
辛普森公式计算三角形面积公式涉及到三角形，留到后面讲解三角形的时候再证明
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