分布函数

作者: 喜忧参半 | 来源:发表于2021-08-11 20:24 被阅读0次

6.概率分布
数学统计函数
三、多维随机变量及其分布
P22-P30联合分布函数
LDA模型分析（一）：数学基础
二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
2019-03-28
2019-05-11
四、正态分布
Logistic回归

随机变量的分布函数

问题：

离散型X：一一列举，可用分布律描述
非离散型X：不能一一列举，不能用分布律表示
实际问题：X：测量长度时的误差
$P\{x_1＜X≤x_2\} =P\{X≤x_2\} -P\{X≤x_1 \}\$ 等价于对于给定的x∈R,确定 $P\{X≤x\}$ 的概率。

定义:设X是一个随机变量，x是任意实数,函数 $F(x)=P\{X ≤x\}$ 称为X的分布函数.
①定义域： $x∈(-\infty<x<+\infty)$
②值域： $0≤F(x)≤1$ (非负性和有界性)
③应用：对于任意的x₁,x₂,存在x₁<x₂,那么
$P\{x_1＜X≤x_2\}= P\{X≤x_2\}-P\{X≤x_1 \}\$
$=F(x_2)-F(x_1)$
④分布函数：正是引入了分布函数，因此可以采用高等数学中的工具，来研究随机现象。

分布函数的几何表示：

将X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-o,x]上的概率.

应用：分布函数就是离散型和非离散型随机变量统一的工具。
性质：也是一个函数是分布函数的充要条件

F(x)是单调不减函数，即：对于任意的x₁<x₂,有F(x₁)≤F(x₂).

$0≤F(x)≤1;\lim_{x \to -\infty}F(x)=0,\lim_{x \to +\infty}F(x)=1$

$F(x)$ 是右连续的，即对任意 $x_0$ , $\lim_{x \to x_0^+}F(x)=F(x_0)$
例：设随机变量X的分布律如下：

X	-1	2	3
P_k	1/4	1/2	1/4

求X分布函数，及 $P\{x≤{1\over 2} \}\ ,P\{{3 \over 2}≤x ≤{5\over 2} \},P\{2≤x≤3\}\$
解：

取离散分布点的值，根据有限可加性求解F(x)后，再求范围值。
故：

P\{x≤{1\over 2} \}\

P\{x=-1\}\ =F({1\over 2})={1 \over 4}

P\{{3 \over 2}≤x≤{5\over 2}\}\ =F({5\over 2})-F({3\over 2})={3 \over 4}-{1 \over 4}={1 \over 2}

P\{2≤x≤3\}\ =F(3)-F(2)={3 \over 4}

离散型随机变量的分布函数的性质

已知离散型X： $P\{X=x_k\}= p_k,(k=1,2,…)$
则 $F(x)=P\{X≤x\}=\sum_{X_k≤x}P\{X=x_k\}$
①F(x)图形：一条阶梯型曲线，在x_k处间断，是一个跳跃间断点
②F(x)在X=x_k处有跳跃值：P_k=P{X=x_k}
③F(x):分段函数；分段区间；左闭右开
例1：已知离散X的分布函数
$F(x)=\begin{cases} 0& ,x<-2 \\ 0.3 & ,-2≤x<1 \\ 0.6 & ,1≤x<2\\ 1 & ,x≥2\\ \end{cases}$ 求X的分布律。解答如下：

X	-2	1	2
P	0.3	0.3	0.4

例2：一个靶子是半径为2m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。
(此例题对理解连续型随机变量很重要)
解： $F(x)=P\{X≤x\}=0 (x∈R)$
①当x<0,{X≤x}是不可能事件,因此 $F(x)=P\{X<0 \}=0$
②当0≤x≤2，P{0≤X≤x}=kx²(概率与面积成正比，k是正比系数，常数)，特别：取x=2 P{0≤x≤2}=4k，同时由实际得，P{0≤x≤2}=1，因此 k=1/4；故有：
$F(x)=P\{X≤x\}=P\{X<0\}+P\{0≤X≤x\}$
$=0+{1 \over 4}x^2={1 \over 4}x^2$
③当x≥2时，又已知{0≤x≤2}，数轴上X≥2已经超过了范围，因此是必然事件。故 $F(x)=P\{X≥2\}=1;$ 因此：
$F(x)=\begin{cases} 0& ,x<0\\ {x^{2} \over 4} & ,0≤x<2 \\ 1 & ,x≥2\\ \end{cases}$

两个例题：
1、已知随机变量X的概率密度为

f_X(x)

,则

Y=-2X

的概率密度

f_Y(y)

为_________。
解：

y=-2x

的反函数为

x={-y \over 2}

,求导得

{dx \over dy}=-{1 \over 2}

根据Y=g(X)的概率密度计算公式为：

f_Y(y)=f_X[g^{-1}(y)]·|[g^{-1}(y)]'|

=f_X({-y \over 2})·|({-y \over 2})'|={1 \over 2}f_X({-y \over 2})

2、设随机变量X的概率密度为
$f_X(x)=\begin{cases} 0& ,x<0\\ e^{-x} & ,x≥0 \\ \end{cases}$ 求随机变量 $Y=e^X$ 的概率密度 $f_Y(y).$
解：由分布函数定义可知
$F_Y(y)=P\{Y≤y\} =P\{e^X≤y\}$
①当 $y≤0$ 时：
$F_Y(y) = P\{∅\}=0,$ ②当 $0<y<1$ 时:
$∵lny<0,∴x<0,F_X(x)=0,F_Y(y)= P\{X<lny\}\$ $=\int_{-\infty}^{lny}f(t)dt=\int_{-\infty}^0f(t)dt+\int_0^{lny}f(t)dt=0$
③当 $1≤y$ 时：
$∵lny≥0,∴x≥0,F_X(x)=e^{-x},F_Y(y)=P\{X<lny\}\$
$=\int_{-\infty}^{lny}f(t)dt=\int_{-\infty}^00dt+\int_0^{lny}e^{-x}dt=1-{1 \over y}$
因此：
$F_Y(y)=\begin{cases} 0& ,y<1\\ 1-{1 \over y } & ,y≥1 \\ \end{cases}$ 从而随机变量Y=eX的概率密度 $f_Y(y)$ 为：
$f_Y(y)={d(F_Y(y) \over dy}=\begin{cases} 0& ,y<1\\ {1 \over y^2 } & ,y≥1 \\ \end{cases}$ 【总结】首先根据分布函数定义 $P\{ Y≤y\}$ 写出关于Y的分布函数 $F_Y(y)$ ,然后根据分布函数的导数是概率密度，可求出Y的概率密度．