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01

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默认的结论

许多没有被证明的猜想在被成功证明之前就已经被当做默认的结论，并应用于技术上且取得了成果。这些默认的结论既然可以成功应用，似乎也无继续证明的必要了。

Michael Atiyah于2018 年 9 月 24 日宣称证明了黎曼猜想，在一片质疑声中仍有部分吃瓜群众认为结论正确与否并无多大意义：“就算成功证明，也并不能带来很大的发展...黎曼猜想的结论已经广泛应用于信号学领域......"

但是从来如此，便对么？诚然黎曼猜想已经被无数的数学家们验证过且能应用于实践中，在很大范围内是成立的。

然而在这个很大范围之外黎曼猜想仍成立吗？即使是已经证明的结论仍有被推翻的可能，毕竟科学的发展不是静态的，谁也不能保证某个结论能一直正确。没有证明之前猜想只是猜想，正确性无法保证。

而在对这些猜想的证明或证否过程中，或许就能触类旁通，带动相关学科发展。例如在对费马大定理研究中便产生了代数数论。

但并非所有证明就一定能产生成果的，或者说是在探索者的有生之年内看不到成果。为什么在看不到前路的情况下仍有代代数学家花费毕生精力乐此不疲地试图去证明某个猜想呢？

事实上原因是多种多样的，我对此也有几番揣度推测。这篇文章是我对这个疑问的一些理解，我将借用第五公设的证明历史来阐述我的一些想法。对《几何原理》第五公设的证明过程应该是数学历史上最漫长的一段证明过程了，或许这段长达两千多年的漫漫求索之路能带给我们一些启示。

02

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欧几里德几何的历史

大约在公元前300年左右，欧几里德整理了当时关于平面和立体几何的知识，写成《几何原理》。作为几何学里的圣经，《几何原理》是在所有时代维持最长久的著作之一。

在几何原理里欧几里德的五条公设奠定了几何学的地基。前四条公设相当优美简洁：

一条直线段可以联接两个点

一条直线上任何一条直线段可以无限延伸

给定一条直线段，可以以一个端点为圆心，以此线段为半径做一个圆

一切直角都彼此相等

唯有第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂：如果两条直线与第三条直线相交时，在第三条直线的某一侧三条线所夹得的内角之和小于两个直角之和，则那两条直线沿着这一侧延伸足够长之后必然相交。

欧几里德没有找到第五公设的证明，只能将其当成默认的结论采纳它。或许因为第五公设的繁琐的设定，欧几里德在《几何原理》的前二十八个命题只使用了前四条公设。

但面对稍带瑕疵的第五公设，任何有抱负的数学家都试图证明它，使其完美无瑕。在长达两千多年的岁月里，代代数家们孜孜不倦地试图证明第五公设。直至1763年，至少发表了二十八种不同的证明——都是错的！这些“证明”除了少数几个，对现如今的我们而言几乎毫无价值。

代代数学家飞蛾扑火般探究平行公设，耗费了生命中无数的时间，但第五公设却毫不动容、不为所动。数学家们所付出的努力似乎看起来毫无价值，对几何学知识的发展也没有任何贡献。

你一定不要去探究平行公设。我深知这条路通向哪里。我曾横穿于这无尽的黑夜，湮灭了我生命中所有的光明与欢乐。我恳求你放下平行公设的研究……我曾想为了真理而牺牲自己。

我准备好成为一个殉教者，除去几何学的瑕疵，使之纯净而奉还给人类。我进行了巨大的、难以估量的努力，我得到的结果远比其他人好得多，却依然没达到完全的满意。

当一个人彻底离开日常之琐碎，他就转向了崇高之最。当我看出没人能达到这黑夜的尽头时，我转回身了。

我转回身来没有慰藉，却带着对自己以及全部人类的怜悯……我旅经了这地狱般的死海里的所有暗礁，总是帆破桅折的回来。就是从那时起，我开始衰老，性情也毁了。我不加考虑地用我的生命和幸福去冒险——或者光荣如凯撒，或者一无所有。

这是法卡斯·鲍耶写给儿子的一封信，从信中可以窥见当时数学家们对证明第五公设的态度。

但其实黎明的曙光早在济罗拉莫·萨彻利发表《不带任何瑕疵的欧几里德》时就已初现。这是数学家们第一次接近非欧几何，但可惜济罗拉莫·萨彻利对第五公设的研究已经感到厌倦，错过了这次机会。五十年后数学家们再一次接近非欧几何，但兰伯特再次重复了这种“失之交臂”。直至九十年后非欧几何才被发现，作为数学中的一个新品种。

03

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乐天派与不满意

回顾非欧几何的发现过程，历代数学家们试图证明第五公设的正确，但最终却以不同的方式否定了欧几里德的第五公设，以不同的方式发现了不同的非欧几何。

假设数学家们没有去证明第五公设，那第五公设可以一直作为默认的结论使用，即使在当今时代在不涉及非欧几何的情况下，第五公设对现实仍然具有指导意义。

为什么要证明第五公设？为什么要证明默认的结论？是因为对知识的发展有什么意义吗？我不知道。我也不知道在长达两千年里那些花费了数不清的岁月去证明第五公设的数学家们知不知道。

但我知道当有人问鼻子为什么会长在脸中间时，人们像伏尔泰小说《老实人》里的乐天派邦葛罗斯这样回答：“事情是不会搞成别的样子的，因为所有的事情都会有结果，而且肯定是个好结果。您瞧，人长出鼻子来就是为了戴眼镜的，我们不是有眼镜嘛。腿生出来显然是为了穿鞋的，我们不是有鞋子嘛。”

当有人问黎曼猜想是干什么用的，人们说：“黎曼猜想发明出来显然是为了应用于信号领域的，我们不是有信号嘛。”

我不知道你是否对这个答案满意。

但我知道那些数学家们肯定对这个答案不满意。

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本文参考了《哥德尔·艾舍尔·巴赫》《孤独的真相》

全文完，感谢阅读。