相交线，平行线

在本篇文章，我们要探索的是线线关系，首先我们要进行分析的是点点关系，其次是线线关系，最后是面面关系作为探索线线关系的基础。

任意两个点之间会有怎样不同的位置关系呢？实际上非常简单，也就是没有重合和完全重合。在实际生活中，完全重合的两个点，也就好比在棋盘上落在一起的两颗棋子。

那么两条线之间的关系呢？仍然有两种（以在同一平面内为前提），第1种是平行关系，第2种是相交关系。平行关系的文字语言定义是：两条没有公共点的直线。相交线的定义是：有公共点的两条直线。

那么任意两个平面之间会有怎样的位置关系呢？第1种是没有重合的关系，也就是平行关系。第2种是相交关系。

那么一条直线与一个平面有几种不同的位置关系呢？第1种是直线在平面内，第2种是直线在平面外，第3种是直线在平面外不过与此直线有一个交点。

一条直线与两个平面有几种不同的位置关系呢？我们可以先根据面与面的关系，将两个平面与一条直线的关系分为两类，第1种是面与面是平行关系，第2种是面与面是相交关系。

在面与面是平行关系的前提下，第1种关系是直线在一平面内，不在另一平面内。第2种关系是直线与两平面都有一个交点，第3种关系是直线与两平面没有任何交点。

在面与面是相交关系的前提下，第1种是直线与两平面都有一个交点，第2种是直线在一平面内与另一平面有一个交点，第3种是直线与两平面仍没有任何交点。

可见两个平面与一条直线，一共有6种位置关系。

接下来我们要仔细探讨的也就是直线与直线的关系了，放在主要位置的是探索直线与直线的平行关系。

首先我们要对相交直线平行直线进行定义。

在先前我们已经对其有过文字的定义，现在我们要增加的是图形语言以及符号语言的定义。

相交直线：

文字语言：两条有公共点的直线被称为相交

图形语言：

符号语言（用上图的两条直线进行描述）：l∩m

平行线：

文字语言：两条没有公共点的直线，被称为平行。

图形语言：

符号语言：l∥m

在相交情况下，会有一种比较特殊的现象，准确说是位置关系，也就是相交后的两条直线，所形成的夹角是4个90度角，而这种位置关系被称为垂直。

文字语言：相交且形成的夹角为90度的两条直线被称为垂直。

图形语言：

符号语言：l⊥m

接下来我们要探索的是点到直线的距离的定义。

实际上点到直线的距离的定义和垂直是有密不可分的联系的，因为点到直线的距离，也就是过此点作此直线的垂直线段，此垂直线段的长度就是此点到此线段的距离。那么为什么要这样规定呢？

这是为了统一。因为如果把做垂直线段改为做相交线段的话，过此点做的相交线段与已知直线所形成的夹角在不同的人那里可以是不同，这样的话就会导致想讨论一些问题，非常的困难，因此数学界这样规定。

这里我们就可以和三角形的高联系上，因为三角形的高的长度，实际上也就是三角形的顶点到其对边的长度，实际上也正是运用的点到直线（在三角形那里是到线段）的距离。

接下来要讨论的也正是我们本篇文章要重点讨论的，关于平行线的判定以及平行线的性质。

最先讨论的是关于平行线的判定。

最开始我们对于平行线的文字语言定义是这样的：两条没有公共点的直线，被称为平行。

那么请问我们该如何确定两条直线没有公共点呢？这实际上就是我们探索这个问题所遭遇的最大的难点，毕竟要确保两条直线没有公共点，就只能将此两条直线无限延长，关键无限延长，又是我们无法在这个有限的世界里做到的，因此该如何证明两条直线没有公共点就成为了我们现在需要讨论的，也就是如何在不能证明两条直线没有公共点的情况下，间接的对平行线进行判定。

如果我们画一对平行线（暂且规定两条直线是平行的），然后再用一条直线过这两条平行的直线，就会发现有几个角的度数是相等的。

我们会发现在此图中，角1和角2是相等的，而这组角相等被称为同位角相等，那么是否可以说，用一条直线过另两条直线所形成的同位角，如果度数相等就证明两条直线平行呢？很明显这是无法证明的，因为我们并没有其他的任何基点来证明这一观点，但是人没有感觉这个观点是正确的，因此这种无法被证明，可却认为是正确的观点，被称为公理（在欧式几何中被称为公设，实际上大意相同。）因此同位角相等，两直线平行就成为了平行线判定的第1个方法。当然如果继续测量，我们仍然会发现很多组度数相同或者互补的角，

上图中角1和角2的度数也是相等的（根据测量得出的），这被称为内错角相等。那么该如何使用内错角相等来证明两直线平行呢？请看以下证明步骤：

我们会发现以上的证明过程中，每一步和每一步都是有严谨的推理证明的原因的，这才真正的显示了推理证明的美，因为每一步以每一步之间都是有严谨的逻辑关系的。

再看下图：

我们发现在两直线平行的前提下，同旁内角（在上图中角1和角2就是同旁内角）是互补的，那么同旁内角互补，是否能用来证明两直线平行呢？

以下证明过程：

在探索完了平行线的判定以后，接下来要进行探索的是平行线的性质。

因此我们证明了两条定理：

1.同旁内角互补，两直线平行。

2.内错角相等，两条直线平行。

根据实际的测量，我们会发现以下两条规律：

1.两直线平行内错角相等。

2.两直线平行同旁内角互补。

同样两直线平行同位角相等被作为公理。

那么我们应该如何用这个公理推出以上两条我们发现的规律使之变成定理呢？

证猜想一：

证猜想二：

因此我就证明了以上我提出的两条猜想。

那么我们是否能够根据我们从平行线那里发现的4条定理以及两条公理证明三角形的内角和就是180度呢？

以下为证明过程：

当然，有关平行线的定理不仅仅能证明出三角形的内角和为180度，也可以证明四边形的内角和为360度，五边形的内角和等等，不过证明方式与证明三角形的内角和的方式没有很大的区别，因此在这里不再进行太多的讨论。

那么什么是探索几何问题的一般过程呢？

1.地基：定义（判定定理以及性质定理）

2.第一层：找到探索的基点，提出自己的猜想，不过第1个猜想往往是不证自明的。

3.第二层：根据自己的第1个猜想来推理，证明出其他的性质（包括如何判定以及其性质）

推理过程：

1.确定已知。

2.确定求证。

3.开始推理（每一步到每一步之间要通过依据来确定变换的合法性以及正确性）

这就是我关于垂直线以及平行线的探索。