UX004

什么叫做二次函数?

上过高中的都见过，通式是：

为什么这种东西叫做“二次函数”呢，在UX003中，我们已经介绍过“次”的概念了，“次”指的就是“代数式”中“代数”的数量

➣那么这个“代数式”中明明有三个，为什么也能叫做“二次函数”呢？

这还要从代数学的基础开始讲起。

多项式

中，固然可以包含3次，但是“二次函数”中的“次”，并不是指的整个式子的“次”，而是指的“最高项”的次。

➣那什么叫做“项”？

项就是“代数式中的乘法单元[1]”，乘法单元是由和组成的。其中放大倍数我们又叫。

如果“项”中“代数的指数”是一样的，那么就可以通过“乘法结合律”将这些“项”进行合并。

比如 ，就可以合并为。

➣那什么叫做“多项式”?

不止一个乘法单元的“代数式”就叫做“多项式”。

所以，都是“二次函数”，只要(a≠0)就可以了，因为当它等于0的时候，最高次就不是了，b或者c等于0那完全没有关系。

➣顺便提一下“元”

“元”指的就是“未知数的种类”。

比如就是“三元函数”，就是“二元函数”。

重新定义二次函数

不过，我并不喜欢把以上形式叫做二次函数。因为这种形式实在是不简洁。

所以在这个系列中 这种形式才会被称为二次函数。

因为这种形式不仅简洁，而且有一种传承的关系，他像是从刚刚学过的一次函数也就是 中，变过来的。

更像是二次函数的某种变体，这种东西我们称为广义二次函数。

数学上的一个重要思想就是从普遍到特殊，研究一个东西，不能一口吃个胖子。

一些特殊的复杂的概念，往往是由简单的数学概念经过各种运算变化而来。

所以我们先掌握二次函数，这才是最重要的事情。

二次函数的解析

x^2图像

观察图像，再结合解析式，我们可以分析出二次函数的以下性质。

➣一定过原点(0,0)。

因为只有一个项，所以 的话，输出值就永远是。

➣值域要不就是要不就是。

因为，单纯看的话，值域一定是，因为这是一个偶数次幂，这种预算不可能产生负数。

但是，前面还有一个系数，之前我们说过系数主要有两个作用，一个是改变符号，另一个是数值成比例放大缩小。

所以当系数的时候，值域就一定是。

➣一定是偶函数/Y轴对称

因为偶函数的定义就是，当改变了参数符号时，输出值完全不变。

由偶次幂的原因，符号改变输出值是不会变的。

➣剧烈度一定比一次函数强

可以想见，剧烈程度应该是比一次函数强的。

因为，毕竟是。

一次函数唯一的胜利

同时画出两种图像，发现最后一个结论是有问题的。

在系数一样的情况下，一次函数虽然整体上大幅落后，但是在最初的阶段却有一个短暂的胜利。

➣这到底是为什么？

一次函数二次函数的对比 一次函数和二次函数动态对比

其实仔细一想就懂了，幂函数固然厉害，但是乘法运算有一个问题。

就是对于的数进行乘法运算的时候，输出值反而还不如参数直接相加。

，看起来很猛，但是

这个临界点就是，在的时候，两个式子最终的结果是完全一样的。

胳膊拧不过大腿

如果在二次函数的基础上，再加上一个一次函数，比如 ，那么呈现出来的图像会是什么样子呢？

1. ➣图像形状会不会发生改变？
2. ➣图像将怎么移动？
3. ➣图像的增减性和对称性会发生什么变化？

二次函数与一次函数相加

性状为啥不变?

➣从图上可以看出，图像的形状没有任何变化，这是为什么呢?

因为，图像的形状其实很大程度上取决于“斜率”，一次函数的斜率是不变的，所以就是一条斜线。

可以看到二次函数的斜率是一直在变化的，因为倾斜的角度越来越大，所以说二次函数是在“加速”，形成一个漏斗的形状。

加入一次函数，就相当于给二次函数增加了一个初始的速度，并不会影响其“加速度”，自然也就对形状不会造成任何影响。

只会对某一个时间点(参数)的速度造成造成影响，所以，只表现出了位移。

为啥总向下移动？

➣那么这种位移的规律是什么呢？

时，可以看到图像是往下移动的；那么的时候，是不是就向上移动？

听起来貌似好像有点道理，但是画出来之后发现还是向下移动的。

总是向下移动

➣为什么会出现这种现象呢？

这就和之前的知识联系起来了，之前的时候我们介绍过函数的运算对无聊性的影响。

二次函数本身是没有无聊性的，但是从中间一劈两半他们是有的。

为了便于理解，我们拆成两半儿再来看。

拆成两半,f2(x)=x^2,(x\geq0)

新的函数f2明显是递增函数，现在在此基础上加上一个一次函数。

那么，这就属于“增函数和减函数”的加法运算。

UX002中提到，由于相加的两个函数趋势正好相反，所以最终的结论并不是显而易见的。

到底谁能够主导增减性，取决于某个区间内谁的优势更大。

根据之前分析过的性质，显然在[0,1)这个区间的时候，一次函数获得过一个短暂的优势，所以在[0,1)这个区间上的函数是一个减函数。

从图上来看就好像，一次函数把二次函数往下坠了一样。

广义二次函数的增减性

当一次函数的系数的时，在左侧也会出现同样的状况，只不过由于符号变了，所以一个在正半轴一个在负半轴。

广义二次函数的增减性

依旧对称

图像的形状没变，所以说依然对称。

只是位置变了，对称轴不是Y轴，自然也就不是偶函数了。

项首和最终走势

对于稍微复杂一点的多项式函数,图像就不是那么直观了,很难直接想象出准确的趋势.

但是根据“胳膊拧不过大腿”，它最终的趋势一定是“指数最高的那个项”来决定的。

比如,,这个函数的走势最终是这个项决定的。

之后的那些影响都很小，只能造成一些小波澜。

次数最高的项被称为多项式的“项首”，所以说：解析式的项首决定函数图像的最终走势。

解析式的项首决定函数图像的最终走势

拆弹部队

是炸弹的起爆函数曲线，参数代表时间，输出值代表炸弹起爆时释放出的能量。

当的时候，爆炸将无可避免的发生。

所以为了拆除炸弹，拆弹部队要在之前就完成行动。

所以计算出起爆时间点就十分关键，一旦计算错误就会导致任务失败。

这个时间点也就是 与 战平的时间，从图上来看，也就是X轴截距。

起爆函数大致图像

那么，该如何计算出这个起爆时间点呢?

拆弹部队

同志，我的命就交到你手上了。

如果我死了，一定要去找你的数学老师算账！！！

注释

[1] “乘法单元”是一个自造词，只是为了解释的方便，之后不会使用这个词，而是使用通用的“项”。

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作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读 思考 践行