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高中数学教育现状

赤裸裸的现状

为什么要换个姿势学数学呢?

目前我们的数学教育面临着实际的问题。

基本上，没有人感到很满意。 那些学习数学的学生觉得所学的知识与实际无关， 无趣以及困难重重。 那些运用数学的人们又觉得他们所学的知识不够。 政府觉察到这是一个涉及到我们经济发展的大问题， 但他们却无从下手。 而老师们也感到很沮丧。

但是现在的数学比人类历史上任何时间都更为重要。 一方面我们逐渐丧失 对数学教学的兴趣， 另一方面，我们的世界却比以前更加趋向于数学化、数量化的数形世界中。

—— 康拉德·沃尔夫拉姆 Conrad Wolfram [1]

虽然 沃尔夫拉姆 说的是欧美的情况，国内的情况也是类似的。

以下事实不言自明：

大部分人的对于数学的感受无非两点

1. 一辈子讨厌数学，或者害怕数学。
2. 学的比忘的还快。

这就导致真正要用数学知识的时候，只要超过初中的内容都会吓得尿裤子。

尽情撕书的少年

数学教学有时竟演变成空洞的解题训练， 这种训练虽然可以提高形式推导的能力， 但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。
—— R• 柯朗 《什么是数学》

我们需要的数学

大部分人并不需要从事数学研究，也不需要刻意的锻炼“逻辑思维”和“感受数学之美”。

但是起码要做到，在专业中遇到数学时，不恐惧，能够最大限度的利用数学解决问题。

这样就够了，能做到这一点，数学素养就已经是百里挑一了。

直接练内功

我们不是数学家，学数学最大的目的是应用，所以不必在各种在细节上纠结，更重要的是建立起现代数学的宏观框架。[2]

当提起某个具体问题时，你能够在数学树中定位它，在实际用到的时候，你知道该查什么资料，该问什么人。

至于细节，在遇到具体问题的时候，你自然就会去学习，那个时候才是，面向项目的，最优的学习。

提前学习琐碎又无用的细节，只会让你更快的忘记他们。

大脑的认知规律就是 不用 → 忘记。

爱因斯坦上大学的时候数学并不好。[3]

但是当开始研究相对论的时候，他起码知道自己需要的理论，谁明白。

然后就直接问他的老师“闵可夫斯基”，之后的事情大家都知道，闵可夫斯基为数学部分做了极大的贡献。

爱因斯坦到最后用的比较熟练了，也就不需要老师了，自己上手。

新姿势指南

以无招胜有招

不追求形式，而是追求解决问题和探索规律。

当形式是确有必要时，再来使用不迟。

以无招胜有招

如来神掌

追求对于现代数学整体的理解，而不是追求做题和计算技巧技巧的。

计算和绘图可以交由计算机，绘图我们主要使用 Geogebra 进行，计算主要使用 Mathematica 。

如来神掌

降维打击

求真功夫，而不是花拳绣腿。

广度优先于深度，当你站在高处，再面对低处具体细节时，一切都得心应手。

拼命做题，练习1万年加减乘除，比计算机做的还快，那你也就是小学水平。

降维打击

唯快不破

学习要制定严格的时间标准并完成。

时间就是金钱。如果一个方法哪里都好，就是太慢，那么代价太高，不值得使用。

唯快不破

精益求精

做题的作用是检验知识是否掌握。

保证飞机的安全飞行，不需要每五分钟就检查一次，如此重复，如果真是如此，那么飞机永远无法起飞，因为问题没有解决。

最好的方式是例行检查，如果有问题，那么无论花多长时间也要解决，这样，飞机最终才能翱翔于蓝天。

认识到做题的真正作用，就不怕迷失于题海。

认识到做题的真正作用，就不怕迷失于题海

反馈明确

前面学成的标志是，后面的内容不出错。

1. 练习题：在做其他练习题的时候，以前学过的部分不会出错。
2. 讲述：学完某个概念之后可以讲述出来，讲给你身边任何一个不懂的人听。

以上两点是一种检查，如果发现问题，那么应该停下。

定位，然后花时间解决。

找准目标

标准库思想

已经证明过的任何结论，都要直接使用。

不管是课本上的或之前做题遇到的，如有必要，应定义一个新的函数或者定理，下次用的时候直接说明即可，不需要重复证明或者推导。

遇到一个新问题，你第一个想到的应该是“之前的知识和这个有什么联系？”，如果你想到了这个联系，那你就可以直接查“库(lib)”，也许早已有解决方案。

Library

刻意联系

尊重认知的基本规律：联系

学一个知识的时候要问这三个问题

1. 深度探索：这个知识是怎么来的？和刚刚学过的有关吗?
2. 横向探索：和其他的数学分支有什么关系？
3. 纵向探索：看到这个规律，你能想到什么吗？(比如，联想到其他学科上的知识，当然也可能只是一个小故事

头脑风暴

不断演化

实践是检验真理的唯一标准

以上提到的具体招数是否有用？

我也不知道。

我们会在实践中逐渐的摸索和演化。

自我迭代

为魔鬼辩护

批评应试教育很无聊

应试教育相当于批量生产，自学相当于定做。从整体上来说，应试教育带来的好处可能更大，提升了国民素质，培育了一大批人才，这是一项伟大的发明，是贡献是功不可没的。

大家都穷得没有衣服穿的时候，有人高喊“大家都要穿定做的衣服”，是犯了左倾盲动主义错误。

都要穿定制的衣服，那钱从哪里来呢？

我讨厌把应试教育批得一无是处的人，这些批评往往是无用甚至可笑的，也不酷。

实际上应试教育从来就不缺批评，大班级授课的坏处教育工作者们也是心知肚明的，如果不知道，也就不会有那么多次教育改革了。

素质教育比应试教育出现还早

➣为什么说应试教育反而是一项伟大的发明呢？

因为从历史上来讲，应试教育比素质教育出现的要晚很多。

➣什么是典型的素质教育呢？

察举制就好像我们现在要搞的自主招生，皇帝和高官亲自接见考生，问一些看起来很高大上的非标准问题。

应试教育的全部弊端几乎都来自于"标准"化，但是如果不进行标准化后果更严重。

创立了组合拓扑学的天才数学家亨利·庞加莱也是经常犯错误的，据说就连他的论文中也存在不少错误。

但是，庞加莱思考的方向在本质上是准确无误的。只要思考的方向正确，即使稍微出点儿差错，对整体而言也并不是致命的。在学校，考试之所以依据计算结果的正确与否来确定成绩，是因为根据思路来给分数比较困难。
《简单微积分》—— [日] 神永正博

➣这样造成的结果是什么呢？

考试没有标准，权力长久的被地方官吏和士族所把持。

后来的事情我们都知道了，科举开始了，从此“朝为田舍郎，暮登天子堂”。

应试教育是社会资源的再分配

从这个意义上来讲，应试教育反而比素质教育要好太多。

所以，应试教育不仅普遍提升了社会的文化水平，另一大好处是，它可以很好的激发社会的活力，打破阶层的固化。

素质教育拼的是钱，出不起高工资，高素质的老师从哪里来呢？

说白了那就是“有钱人优先”原则；除非社会财富均分的理想实现了，否则是不会有“素质教育”的。

应试问题和素质教育的问题不是我们考虑的，那是教育改革者的事情，我们最能改变的只有自己。

义务教育和大学教育中的数学

义务教育的数学，主要教授的是“套路”，目标是通过答案确定的标准化测试；而大学教育要求掌握的是一种思维能力，目标是解决新鲜的问题(大部分没有标准答案)。

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注释

[1] Wolfram Research 公司创始人，大名鼎鼎的数学软件 Mathematica 就是Wolfram 公司的产品。

[2] 职业的数学家常常在高度抽象的层面上思考；但绝大多数人不是数学家，也不想做数学家，实际上也用不着那么多数学家。一上来就搞抽象，直接开始罗列公式和符号，相当于揠苗助长。学习数学，鲜活的例子和广泛的联系非常重要，可惜，这被忽视了。

[3] 爱因斯坦在学生时期是条懒狗。他一点也不为数学操心。—— 闵可夫斯基。出处：http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/3/3_20/3_20_1007.htm

特别要提醒的是，这里说他的数学“不好”，是相对于他的同学来说的，好坏是相对的。

作者信息

我是心如止水，欢迎你和我换个姿势学数学。

心如止水：阅读 思考 践行