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近世代数理论基础25:唯一分解整环

近世代数理论基础25:唯一分解整环

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-03-03 07:29 被阅读27次

    唯一分解整环

    唯一分解整环

    定义:若整环D满足:

    1.D中任一不是0也不是单位的元都可分解成有限个不可约元的乘积

    2.若D中元a分解成两种不可约元的乘积p_1p_2\cdots p_rq_1q_2\cdots q_s,则r=s,且适当调整次序后有p_i\sim q_i,i=1,2,\cdots,r

    则称D为一个唯一分解整环(UFD)

    例:整数环、F[x]都是唯一分解整环

    域也是唯一分解整环,域中除了零元,其他元都是单位

    判断

    引理:若整环D中任意两个元均有最大公因子存在,则D中每个不可约元都是素元

    证明:

    设p是D中的不可约元

    若p不是素元

    则\exists a,b\in D,使p|ab

    但p\nmid a且p\nmid b

    \therefore (p,a)\sim 1,(p,b)\sim 1

    \therefore (p,ab)\sim 1

    与p|ab矛盾

    \therefore p为素元\qquad\mathcal{Q.E.D}

    定理:整环D是UDF的充分必要条件:

    1.D中任意序列a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,其中每一个a_{i+1}都是a_i的真因子,i=1,2,\cdots,n,\cdots,只能含有有限项

    2.D中每一个不可约元都是素元

    证明:

    必要性

    设D是UFD

    若D中有一个无限的真因子序列

    a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots

    其中a_{i+1}是a_i的真因子,i=1,2,\cdots

    可设a_1\neq 0,a_1不是单位(单位没有真因子)

    则a_1可分分解成无限个不可约元的乘积

    与D是一个UFD矛盾

    故第一条成立

    \forall a,b\in D

    下证a,b一定有最大公因子

    a,b中有一个为0,或有一个为单位时

    它们显然有最大公因子

    设a,b都不是0,也不是单位

    则a和b可唯一分解成不可约元之积

    a=up_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s}

    b=vp_1^{l_1}p_2^{l_2}\cdots p_s^{l_s}

    其中p_1,p_2,\cdots,p_s为互不相伴的不可约元

    k_i,l_i均为非负整数,u,v是D的单位

    令d=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s}

    其中e_{i}=min\{k_i,l_i\},i=1,2,\cdots,s

    下证d为a和b的最大公因子

    显然,d|a,d|b

    若有c|a,c|b

    由分解的唯一性

    c=wp_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_s^{m_s}

    其中w为D中的单位,m_i为非负整数

    且m_i\le k_i,m_i\le l_i

    \therefore m_i\le e_i

    \therefore c|d,即d为a和b的最大公因子

    第二条成立

    充分性

    设整环D满足条件1和2

    先证D中任一不为0也不是单位的元a可分解成有限个不可约元的乘积

    若a是不可约元

    则a=a即a的一个不可约元的分解

    若a不是不可约元

    由条件1

    a=p_1a_1

    其中p_1为不可约元,a_1不是单位

    若a_1是不可约元,则已证

    否则,又有a_1=p_2a_2

    其中p_2是不可约元

    如此继续下去

    可得真因子序列a,a_1,a_2,\cdots,

    由条件1,以上序列必终止于有限项

    设最后一项为a_s

    则a_s=p_{s+1}必为不可约元

    \therefore a=p_1p_2\cdots p_{s+1}

    其中p_i为不可约元,i=1,2,\cdots,s+1

    分解式的唯一性易证\qquad\mathcal{Q.E.D}

    注:可利用D中任二元的最大公因子的存在性判断D是否为唯一分解整环

    定理:整环D是唯一分解整环的充要条件:

    1.D中任意真因子序列a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots(其中a_{i+1}a_i的真因子,i=1,2,\cdots)只能由有限项

    2.D中任意两个元都有最大公因子

    例:环D=\{a+b\sqrt{-5}|a,b\in Z\}不满足每一个不可约元都是素元,D不是唯一分解整环

    例如9\in D,9=3\cdot 3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),即9的两种不同的不可约元的因子分解

    主理想整环

    定义:设D是一个整环,若D的每一个理想都是主理想,则称D为主理想整环(PID)

    例:整数环Z和F[x]都是PID

    设I为Z的任一理想,则I中必有一个最小的非负整数a,易证I=(a),故Z是PID

    F[x]的零理想是一个主理想,而非零理想总是由其中次数最小的多项式来生成,故F[x]是PID

    性质:

    1.设a,b\in D,则(a)\subseteq (b)\Leftrightarrow b|a

    2.设a,b\in D,则(a)=(b)\Leftrightarrow a\sim b

    引理:设D是PID,p\in D是不可约元,则p必是素元

    证明:

    设p\in D是不可约元

    \forall a,b\in D,p|ab

    若p|a,则结论成立

    若p\nmid a,由a和p生成理想S=(a,p)

    \because D是PID

    \therefore \exists d\in D,使S=(a,p)=(d)

    a\in (d)\Rightarrow d|a

    p\in (d)\Rightarrow d|p

    \because p是不可约元

    \therefore d\sim 1或d\sim p

    \because p\nmid a

    \therefore d\sim 1

    即S=(a,p)=\{ax+py|x,y\in D\}=D

    \exists x_0,y_0\in D,使得

    1=ax_0+py_0

    \therefore b=b\cdot 1=abx_0+pby_0

    p|ab\Rightarrow p|b\qquad\mathcal{Q.E.D}

    定理:主理想整环一定是唯一分解整环

    证明:

    设D是PID

    先证D中任一真因子序列只能有有限项

    D中一个无限因子序列:

    a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots

    其中a_{i+1}是a_i的因子

    则有一个主理想序列:

    (a_)\subset (a_2)\subset \cdots\subset (a_n)\subset \cdots

    序列里每一个都是包含的关系

    令A=\bigcup\limits_{i=1}^\infty(a_i)

    易证A是D的理想

    \therefore \exists a\in D,使A=(a)

    \because a\in A

    \therefore k\in Z_+,使a\in (a_k)

    \therefore a_k|a

    又(a_k)\subseteq A=(a)\Rightarrow a|a_k

    \therefore a_k\sim a

    同理可证,\forall i\in Z_+,i\gt k,有a_i\sim a

    即a_k\sim a_i,\forall i\gt k,i\in Z_+

    \therefore 序列只有有限项

    又D中的不可约元一定是素元

    \therefore D是唯一分解整环\qquad\mathcal{Q.E.D}

    欧式环

    定义:设D为整环,若存在一个从D的非零元组成的集合到非负整数集合的映射\varphi,使得\forall a,b\in D,a\neq 0,\exists q,r\in D,使b=aq+r,其中r=0,或\varphi(r)\lt \varphi(a),则称D是一个欧式环

    例:整数环Z和F[x]都是欧式环

    Z和F[x]中都有带余除法

    对于Z,映射\varphi可取作\varphi(a)=|a|

    对于F[x],\varphi可取作\varphi(f(x))=deg(f(x))

    注:欧氏环即能进行某种意义下的带余除法的环,可看作是Z和F[x]的推广

    定理:欧式环是主理想整环,是唯一分解整环

    证明:

    设R是欧式环,I是R的理想

    若I=\{0\}

    则I是主理想(0)

    若I\neq \{0\}

    令A=\{\varphi(x)|x\in I,x\neq 0\}

    则A是非负整数的集合

    由最小数原理

    A中有最小者,设为d

    则\exists b\in I,使得

    d=\varphi(b),b\in I,b\neq 0

    \forall a\in I,由欧式环的定义

    \exists q,r\in D,使得

    a=bq+r

    其中r=0或\varphi(r)\lt \varphi(b)=d

    \because r=a-bq\in I,d=\varphi(b)为集合A中的最小值

    \therefore r=0,即b|a

    \therefore I=(b)\qquad\mathcal{Q.E.D}

    注:不是所有的主理想环都是欧式环

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