唯一分解整环
唯一分解整环
定义:若整环D满足:
1.D中任一不是0也不是单位的元都可分解成有限个不可约元的乘积
2.若D中元a分解成两种不可约元的乘积和,则,且适当调整次序后有
则称D为一个唯一分解整环(UFD)
例:整数环、F[x]都是唯一分解整环
域也是唯一分解整环,域中除了零元,其他元都是单位
判断
引理:若整环D中任意两个元均有最大公因子存在,则D中每个不可约元都是素元
证明:
定理:整环D是UDF的充分必要条件:
1.D中任意序列,其中每一个都是的真因子,,只能含有有限项
2.D中每一个不可约元都是素元
证明:
注:可利用D中任二元的最大公因子的存在性判断D是否为唯一分解整环
定理:整环D是唯一分解整环的充要条件:
1.D中任意真因子序列(其中为的真因子,)只能由有限项
2.D中任意两个元都有最大公因子
例:环不满足每一个不可约元都是素元,D不是唯一分解整环
例如,,即9的两种不同的不可约元的因子分解
主理想整环
定义:设D是一个整环,若D的每一个理想都是主理想,则称D为主理想整环(PID)
例:整数环Z和都是PID
设I为Z的任一理想,则I中必有一个最小的非负整数a,易证,故Z是PID
的零理想是一个主理想,而非零理想总是由其中次数最小的多项式来生成,故是PID
性质:
1.设,则
2.设,则
引理:设D是PID,是不可约元,则p必是素元
证明:
定理:主理想整环一定是唯一分解整环
证明:
欧式环
定义:设D为整环,若存在一个从D的非零元组成的集合到非负整数集合的映射,使得,,使,其中,或,则称D是一个欧式环
例:整数环Z和都是欧式环
Z和中都有带余除法
对于Z,映射可取作
对于,可取作
注:欧氏环即能进行某种意义下的带余除法的环,可看作是Z和的推广
定理:欧式环是主理想整环,是唯一分解整环
证明:
注:不是所有的主理想环都是欧式环
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