第七讲：机械能守恒定律

数学符号

滑动摩擦系数为 $\mu$

对应的代码为
$\mu$

知识点

势能
- 重力势能： $E_p=mgz_a-mgz_b$ (相对于地球）
- 弹性势能： $E_p =\frac{1}{2} kx^2=\frac{1}{2}kx_a^2-\frac{1}{2}kx_b^2$
- 万有引力势能： $E_p =- \frac{GMm}{r}$ （负号不能忘）
保守力的功
- 直观感受：
  - 保守力做功，将使得机械能在各物体之间转移，而无增减。
  - 外力对系统做功，系统机械能增加。
  - 内部摩擦力做功，系统机械能减少。
- 保守力包括：
- 重力的功： $W=mgz_{0}-mgz_{1}$ (初减末）
- 弹力的功： $W=\frac{1}{2}kx_{0} ^2-\frac{1}{2}kx_{1}^2$
- 万有引力的功： $W= (-\frac{ GMm}{r_0 }) -(- \frac{ GMm}{r_1 } )$
机械能守恒定律
- 条件：外力与内部摩擦力对系统做总功为零
- 合外力为零，机械能守恒吗？请举出反例。（不守恒）。
  例：在一个2维平面上，以这2个球为一个系统，对2个球分别施加大小相等，方向相反的力，这个系统合外力为0，但系统机械能增加。
机械能不守恒的处理
对于机械能不守恒的系统，由功能关系求解其中能量变化转移。

例题

例1.

如图所示。 $M$ 处于弹簧原长度处，手托着 $m$ ，使得绳子处于蹦紧状态，整个系统静止。现在松手，让 $m$ 下降 $x$ 的距离。求 $m$ 的速度 $v(x)$ 。

g4280.png

若不计摩擦力，请从功能的角度，分析能量的转移，并列出能量转移方程。
若滑动摩擦系数为 $\mu$ ，请从功能的角度，并分析能量转移方程。

解答： 1.若不计摩擦
M和m有相同的速度，以M和m为一个整体，
m下降x的距离，重力势能减少，转化为M和m的动能还有弹簧的弹性势能。即
$mgx= \frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2} kx^2$ 则v(x)= $\sqrt \frac{2mgx-kx^2}{m+M}$
2.若计摩擦
则m减少的重力势能不仅变为弹性势能和动能，还有一部分克服摩擦力做功变为内能，即 $mgx= \frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2} kx^2+\mu Mgx$
则 $v(x)=\sqrt\frac{2mgx-kx^2-\mu mgx}{m+M}$