第七讲：机械能守恒定律

数学符号

滑动摩擦系数为 $\mu$

对应的代码为

$\mu$

知识点

势能
- 重力势能： $E_p=mgz$
- 弹性势能： $E_p =\int_{a}^{b}{kx }dx=\frac{1}{2}kx^2|_a^b$
- 万有引力势能： $E_p =\int_a^b{G}\frac{Mm}{r^2}dr=-G\frac{Mm}{r}|_a^b$
保守力的功
- 直观感受：
  - 保守力做功，将使得机械能在各物体之间转移，而无增减。
  - 外力对系统做功，系统机械能增加。
  - 内部摩擦力做功，系统机械能减少。
- 保守力包括：
- 重力的功： $W=mgz_{初}-mgz_{末}$
- 弹性的功： $W=\frac{1}{2}kx_初^2-\frac{1}{2}kx_末^2$
- 万有引力的功： $W=-G\frac{Mm}{r_初}-（-G\frac{Mm}{r_末}）$
机械能守恒定律
- 条件：外力与内部摩擦力对系统做总功为零
- 合外力为零，机械能守恒吗？请举出反例。
  不一定守恒:非弹性碰撞
机械能不守恒的处理

例题

例1.

如图所示。 $M$ 处于弹簧原长度处，手托着 $m$ ，使得绳子处于蹦紧状态，整个系统静止。现在松手，让 $m$ 下降 $x$ 的距离。求 $m$ 的速度 $v(x)$ 。

g4280.png

若不计摩擦力，请从功能的角度，分析能量的转移，并列出能量转移方程。
若滑动摩擦系数为 $\mu$ ，请从功能的角度，并分析能量转移方程。

解答：
$(1)，对整个系统运用动能守恒定律：$
$mgx=\frac{1}{2}(M+m)v_{(x)}^2+\frac{1}{2}kx^2\color{blue}{(k为弹簧的劲度系数)}$
解得： $\color{red}{v_{(x)}=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2}{M+m}}}$
$（2）,对整个系统运用动能守恒定律：$
$mgx=\frac{1}{2}(M+m)v_{(x)}^2+\frac{1}{2}kx^2+\mu{Mgx}$
解得： $\color{red}{v_{(x)}=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2-\mu{Mgx}}{m+M}}}\color{blue}{ 注：（mg>\mu{Mg})}$