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王梓瑜讲义1.27函数杂题

王梓瑜讲义1.27函数杂题

作者: 苏格兰低地弟弟打滴滴 | 来源:发表于2020-01-28 09:18 被阅读0次

打勾函数

y=x+\frac{a}{x}这种类型得函数叫做打勾函数。很多时候需要做这个类型的换元。

【例题】：已知关于x的方程\left(x-\frac{a}{x}\right)^{2}-5 x-\frac{5 a}{x}=-6-4 a有两个实根相等，求a的值。

a=1,9/4

【例题】：解方程(1) 12 x^{4}-56 x^{3}+89 x^{2}-56 x+12=0(2) x^{5}+2 x^{4}-5 x^{3}+5 x^{2}-2 x-1=0

高次方程韦达定理

【例题】：方程x^{3}-6 x^{2}-x+6=0 所有根的积是多少

【例题】：方程x^{2}+3 x-\frac{3}{x^{2}+3 x-7}=9所有根的积是多少

换主元

【例题】：解方程x^{3}+2 \sqrt{10} x^{2}+10 x+1+\sqrt{10}=0

配方

【例题】：a,b,c是三角形的三边长，且\frac{2 a^{2}}{1+a^{2}}=b, \frac{2 b^{2}}{1+b^{2}}=c, \frac{2 c^{2}}{1+c^{2}}=a，求三角形的面积。

【例题】：a, b, c, x, y, z 都是非零实数，而且a^{2}+b^{2}+c^{2}=x^{2}+y^{2}+x^{2}=a x+b y+c z

求证：\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}

【例题】：已知a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=4 a b c d，求\frac{a}{b}+\frac{c}{d}

【例题】：如果x^{2}+2 x+2 \leqslant ax^2+bx+c \leqslant 2 x^{2}+4 x+3恒成立，而且x=9时，ax^2+bx+c=121,求a+b+c

公共根问题

【例题】已知三个方程：a x^{2}+b x+c=0, b x^{2}+c x+a=0, c x^{2}+a x+b=0恰好有一个公共实根，则\frac{a^{2}}{b c}+\frac{b^{2}}{a a}+\frac{c^{2}}{a b}等于：


其他杂题

【例题】：如果abc=1，解方程\frac{2 a x}{a b+a+1}+\frac{2 b x}{b c+b+1}+\frac{2 c x}{c a+c+1}=1

【例题】：a，b都是正整数，方程x^{2}-2 a x+b=0两个实数根是x_{1}, x_{2}，并且方程y^{2}+2 a y+b=0两个实数根是y_{1}, y_{2}，而且x_{1} y_{1}-x_{2} y_{2}=2008，求b的最小值

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