王梓瑜讲义1.22 方程

作者: 苏格兰低地弟弟打滴滴 | 来源:发表于2020-01-22 11:09 被阅读0次

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【例题】：已知关于x，y的方程组 $\left\{\begin{array}{l}{a x+2 y=1+a} \\{2 x+2(a-1) y=3}\end{array}\right.$ ，分别求出当a是何值的时候，方程有(1)唯一一组解 (2) 无解（3）无穷多组解

a=2 无穷 a=-1 唯一

根式方程

分子有理化是常用的方法

【例题】解方程 $\sqrt{x^{2}+3 x+7}-\sqrt{x^{2}-3 x+4}=3$

特殊方程

【例题】：解方程组 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}} \\{\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}} \\{\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$

（在适当的时机做一些换元）

【例题】：a,b,c是三个不同的非零实数，解方程 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{a^{2}}-\frac{y}{a^{2}}+\frac{z}{a}=1} \\{\frac{x}{b^{2}}-\frac{y}{b^{2}}+\frac{z}{b}=1} \\{\frac{x}{c^{2}}-\frac{y}{c^{2}}+\frac{z}{c}=1}\end{array}\right.$

（换个主元试试）

【例题】：如果 $\frac{x}{3^{3}+4^{3}}+\frac{y}{3^{3}+6^{3}}=1, \frac{x}{5^{3}+4^{3}}+\frac{y}{5^{3}+6^{3}}=1$ 那么 $x+y=$

【例题】：若：

求 $x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}$

（和上题处理方法类似）

【例题】：解方程组： $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}+2 y z=x} \\{y^{2}+2 z x=z} \\{z^{2}+2 x y=y}\end{array}\right.$

【例题】：解方程 $\left\{\begin{array}{l}{x \sqrt{y z}+y \sqrt{x z}=39-x y} \\{y \sqrt{x z}+z \sqrt{x y}=52-y z} \\{z \sqrt{x y}+x \sqrt{y z}=78-z x}\end{array}\right.$

【例题】：解方程组 $\left\{\begin{array}{l}{x^{2}=1+(y-z)^{2}} \\{y^{2}=2+(x-z)^{2}} \\{z^{2}=3+(x-y)^{2}}\end{array}\right.$

【例题】：已知 $\frac{a+b}{a-b}=\frac{b+c}{2(b-c)}=\frac{c+a}{3(c-a)}, a, b,c$ 互不相等，求证 $8 a+9 b+5 c=0$

高次方程

【例题】：解方程 $\left(x^{3}-3 x^{2}+x-2\right)\left(x^{3}-x^{2}-4 x+7\right)+6 x^{2}-15 x+18=0$

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