矩阵

作者: 无剑_君 | 来源:发表于2020-07-14 08:52 被阅读0次

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一、矩阵

A是3×2矩阵，即3行2列：
矩阵的维数即行数×列数
$矩阵元素（矩阵项）：A= \left[ \begin{matrix} 2& 3 \\ 1 & 6 \\ 4 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
从0行0列开始。
$A_{11}$ =6,A[1,1]=6：表示1行，1列
$A_{20}$ =6,A[2,0]=4：表示2行，0列
A[0]=[2,3] ：表示0行

二、矩阵运算

1. 加法(Plus)

两个行数、列数分别相等的矩阵（同型矩阵），加法运算才有意义。
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8 \\ \end{bmatrix}$
交换律：A+B=B+A
结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

2. 乘法(Multiply)

1)与数的乘法

将数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵。
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & -5 \\ \end{bmatrix} \times 4=\begin{bmatrix} 4 & -4 & 12 \\ 8 & 24 & -20 \\ \end{bmatrix}$
结合律：(ab)A=a(bA)(a+b)A=aA+bA
分配律：a(A+B)=aA+aB

2)与矩阵的乘法

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 8 & 2 \\ 15 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 71 & 18 \\ 170 & 48 \\ \end{bmatrix}$

设矩阵A= $(aij)_{m×s}$ ,B= $(bij)_{s×n}$ ,则A与B的乘积C：
$C=(c_{ij})_{m \times n}$
行数与左矩阵A相同，列数与右矩阵B相同。
C的第i行第j列的元素:
$c_{ij}= \sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj}(i=1,2, \cdots ,m; \; j=1,2, \cdots ,n;)$
不满足交换律

3. 哈达马乘积（Hadamard product）

约束与加法相同，只是对应元素运算变为乘法。记作 ∘ 或 ∗ 或 ⊙。
注意不要混淆，与一些计算机语言中的星号不同，这里星号（∗）不是指乘法（×）。为了避免混淆，一般使用 ∘ 或 ⊙ 。
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 6 & 16 \\ \end{bmatrix}$

4. 转置(Transpose)

0行转为0列。

记作 $A^T$ 或 $A^′$
$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 10 & -1 \\ 5 & 2 & 7 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad A^{\prime}=A^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \\ 10 & 7 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$(A^T)^T$ =A
$(A+B)^T$ = $A^T$ + $B^T$
$(AB)^T$ = $B^TA^T$
$(aA)^T$ = $aA^T$ ,a是常数

三、单位矩阵

单位矩阵是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）zd上的元素均为1。除此以外全都为0。就可以理解为单位矩阵相当于数学数字中的1，1和任何数相乘都等于那个数字本身。矩阵同理，单位矩阵×任意矩阵A=A。
$I_{3\times3}=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ \end{bmatrix}$

$A\times I=$ I\times A$ =A

四、方阵

五、逆(Inverse)

设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得：
$AB=BA=I_n$
则称A为可逆矩阵，B为A的逆阵，记作: $B=A^{−1}$
$(A^{−1})^{−1}=A$
$(kA)^{−1}=\frac1k A^{−1}(k≠0)$
A、B均是同阶可逆矩阵，则 $(AB)^{−1}=B^{−1}A^{−1}$ 、B均是同阶可逆矩阵，则 $(AB)−1=B−1A−1$
$(A−1)T=(AT)−1$

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