数学基础回顾——平面几何对称和垂直

在看算法关于“线性对数时间复杂度”的知识点时，突然想起来如下问题：

y=f(x)反函数y=f^-1(x)。一个典型的例子，对数和指数函数互为反函数。他们关于直线
y=x 对称。

为什么原函数与反函数关于该直线对称呢？
因为任意取原函数上一点A(a, b), 根据反函数定义，必能在其反函数上找到B(b, a)。而 A、B 两点关于直线 y=x 对称。由任意性可知原函数和反函数关于直线 y=x 对称。
为什么 A(a, b)、B(b, a) 两点关于直线 y=x 对称?
因为①直线AB的斜率和直线 y=x 的斜率乘积为-1，所以二者垂直。②A到直线 y=x 的距离和 B 到直线 y=x 的距离相同。
这里面又涉及两个问题：
其一，为什么两直线斜率乘积为-1，二直线垂直？
总之是转换证明其夹角为90°
可以从斜率为 tanθ 角度考虑（θ为直线与 x 轴夹角），利用三角函数二角和差公式探究夹角大小进行证明。

三角函数二角和差公式
也可以从斜率的向量表示法角度考虑。用向量点积计算夹角的角度进行考虑。一方面，向量的点积运算有其平面直角坐标系的意义^[1]，另一方面，原始定义a‧b = |a||b|cosθ 和两个向量的夹角有关系。
其二，点到直线的距离公式怎么推导？
定义法推导点到直线的距离公式
还有几种方法
比如在已知公式的情况下反推证明（如函数法、柯西不等式法）感觉函数法更像是柯西不等式法的推导过程。（函数法其中有一个符号用错了，加号应改为减号）

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1. “向量的坐标运算之点积运算a(x₁, y₁)，b(x₂, y₂)，a‧b=x₁x₂+y₁y₂”
   借助两个相互为法向量的基向量i, j, （|i|=1, |j|=1, i‧j = 0）
   a‧b
   = (x₁ * i + y₁ * j) * (x₂ * i + y₂ * j)
   = x₁x₂+y₁y₂ ↩