符号定义
自然数
整数
有理数
实数
复数
任意
存在
集合映射
概念
1.集合:一个或多个确定元素所构成的整体,通常大写字母表示。集合中的元素通常用小写字母表示。
若是集合中元素记为 ,否则 。
2.子集:A中的每个元素都在B中,记为,相等记为
3.真子集:
4.空集:记为
5.基数:集合中元素个数称为集合的基数,记为
集合运算
区间定义
领域
映射
为两个非空集合,如果存在法则,使得A中的每个元素,按照法则,在中有唯一确定元素与之对应,则称为从到的映射,记为
称为原象集,称为象集合
函数
函数定义:
对于给定集合,如果存在对应法则,使得对于中的每一个数,在中存在唯一的数与之对应,称为从到的一个函数,记作
称为函数f的定义域,称为函数的值域,称为自变量,称为因变量。
函数性质
1.有界性
2.单调型
3.周期性
4.奇偶性
函数运算
反函数
函数的定义域为,值域为,若对任何,在内有唯一确定的x使 , 则称这样形成的函数为的反函数,记为.
对于反函数 , 定义域是, 值域是
- 单调函数具有反函数
- 原函数与反函数关于对称
复合函数
如果是的函数,而又是的函数,即,,那么关于的函数叫做函数和的复合函数,叫做中间变量.
初等函数
1.常数函数()
2.幂函数()
3.指数函数()
4.对数函数()
5.三角函数()
6.反三角函数()
极限
如果序列与常数有下列关系:对于任意给定的常数总存在正整数,使得对于时的一切,不等式都成立,则称常数是序列的极限,序列收敛与,记为
极限性质
唯一性
序列不能收敛于两个不同的极限
有界性
如果序列收敛,那么序列一定有界
保序性
设序列的极限为,并且,则存在自然数,使得对于一切,就有
设序列,的极限为,,并且存在使得只要则有
子序列
如果序列收敛于,那么它的任意子序列也收敛,且极限也是
序列极限运算
夹逼定理
极限准则
单调增加有上界或单调减少有下界的序列必有极限
函数极限
函数在的领域内有定义,A是一个常数:
右极限:函数在右半领域内有定义
左极限:函数在左半领域内有定义
<b>无穷小</b>:以零为极限
<b>无穷小性质</b>:
1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2.有限个无穷小的积仍是无穷小
3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小
4.无限个无穷小之和不一定是无穷小
5.无穷小的商不一定是无穷小
常用极限
函数连续性
函数在点的某领域内有定义,如果当自变量的改变量趋于0时,相应的函数的改变量也趋于,则在点处连续.
函数在点处连续需满足以下条件:
1.函数在该点有定义
2.函数在该点处极限存在
3.极限值等于函数值
函数间断点
如果函数在点处不连续,则在点间断,点为函数间断点.
函数在处间断需要满足下列至少一种情况
1.无定义
2.不存在
3.存在,存在,但是不相等
间断点类型:
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点
第二类间断点包括无穷间断和振荡间断点
1.可去间断点 存在,但是不等于,或无定义
2.跳跃间断点 和 都存在但是不想等
3.无穷间断点
4.振荡间断点 ,f(x)值无限次在两个不同值之间变动,则是的振荡间断点
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