机器学习数学-函数极限

作者: 我是老彭 | 来源:发表于2020-02-09 22:42 被阅读0次

    符号定义

    \mathbb{N} 自然数
    \mathbb{Z} 整数
    \mathbb{Q} 有理数
    \mathbb{R} 实数
    \mathbb{C} 复数
    \forall 任意
    \exists 存在

    集合映射

    概念

    1.集合:一个或多个确定元素所构成的整体,通常大写字母A表示。集合中的元素通常用小写字母a表示。
    a是集合中元素记为 a\in A,否则 a\notin A
    2.子集:A中的每个元素都在B中,记为B\subseteq A,相等记为A=B
    3.真子集:A\subseteq B且A\ne B,记为A\subset B
    4.空集:记为\emptyset
    5.基数:集合中元素个数称为集合的基数,记为\left| A \right|

    集合运算

    交:A\cap B=\{x:x\in A且x\in B\}
    并:A\cup B=\{x:x\in A或x\in B\}
    差:A \setminus B=\{x:x\in A且x\notin B\}

    区间定义

    (a,b)=\{x:a<x<b\}
    [a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}
    (a,b]=\{x:a<x\leq b\}
    [a,b)=\{x:a\leq x<b\}

    领域

    U(a,\varepsilon)=\{x:a<x<a+\varepsilon\}
    U_0(a,\varepsilon)=\{x:a<x<a+\varepsilon 且x\neq a\}

    映射

    A,B为两个非空集合,如果存在法则f,使得A中的每个元素a,按照法则f,在B中有唯一确定元素b与之对应,则称f为从AB的映射,记为
    f:A\rightarrow B\quad b=f(a)
    A称为原象集,B称为象集合

    函数

    函数定义:

    对于给定集合x\in \mathbb{R},如果存在对应法则f,使得对于X中的每一个数x,在\mathbb{R}中存在唯一的数y与之对应,称f为从X\mathbb{R}的一个函数,记作
    f:X\rightarrow \mathbb{R} \quad x\rightarrow y=f(x)
    X称为函数f的定义域,f(x)称为函数的值域,x称为自变量,y称为因变量。

    函数性质

    1.有界性
    \exists M使得对\forall x \in X,都有f(x)\leq M,称f(x)在X有上界 \\ \exists M使得对\forall x \in X,都有f(x)\ge M,称f(x)在X有上界

    2.单调型
    对于任意x_1,x_2 \in X,x_1<x_2,就有f(x_1)\leq f(x_2)或f(x_1)\ge f(x_2),称f(x)在X上单调递增(递减)

    3.周期性
    存在T>0,使得对于\forall x \in X,有f(x+T)=f(x),称T是周期

    4.奇偶性
    奇函数f(-x)=-f(x) \\ 偶函数f(-x)=f(x)

    函数运算

    (f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)
    (f_1f_2)(x)=f_1(x)f_2(x)
    \frac{f_1}{f_2}(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)},f_2(x)\neq 0

    反函数

    函数y=f(x)的定义域为D,值域为f(D),若对任何y∈f(D),在D内有唯一确定的x使 y=f(x), 则称这样形成的函数xy=f(x)的反函数,记为x=f^{-1}(y).

    对于反函数 x=f^{-1}(y), 定义域是f(D), 值域是D

    1. 单调函数具有反函数
    2. 原函数与反函数关于y=x对称

    复合函数

    如果yu的函数,而u又是x的函数,即y=f(u),u=f(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数fg的复合函数,u叫做中间变量.

    初等函数

    1.常数函数(y=c)
    2.幂函数(y=x^2)
    3.指数函数(y=a^x)
    4.对数函数(y=log_ax)
    5.三角函数(\begin{cases} y=sinx \\ y=cosx \\ y=tanx \\ y=cotx \end{cases})
    6.反三角函数(\begin{cases} y=arcsinx \\ y=arccosx \\ y=arctanx \\ y=arccotx \end{cases})

    极限

    如果序列{x_n}与常数l有下列关系:对于任意给定的常数\varepsilon,总存在正整数N,使得对于n>N时的一切x_n,不等式|x_n-l|<\varepsilon都成立,则称常数l是序列{x_n}的极限,序列{x_n}收敛与l,记为 \lim_{n \rightarrow \infty }x_n=l

    极限性质

    唯一性
    序列{x_n}不能收敛于两个不同的极限

    有界性
    如果序列{x_n}收敛,那么序列{x_n}一定有界

    保序性
    设序列{a_n},{b_n}的极限为l_1,l_2,并且l_1>l_2,则存在自然数N,使得对于一切n>N,就有a_n>b_n
    设序列{a_n},{b_n}的极限为l_1,l_2,并且存在N_0使得a_n>b_n只要n>N_0则有l_1>l_2

    子序列
    如果序列{x_n}收敛于l,那么它的任意子序列{x_{n_k}}也收敛,且极限也是l

    序列极限运算

    设a_n\rightarrow a,b_n\rightarrow b(n \rightarrow \infty)
    \lim_{n \rightarrow \infty }(a_n \pm b_n)=a \pm b
    \lim_{n \rightarrow \infty }(a_nb_n)=ab
    \lim_{n \rightarrow \infty }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}(b \neq 0,b_n \neq 0)
    \lim_{n \rightarrow \infty }a_n=a,则\lim_{n \rightarrow \infty }ca_n=ca
    \lim_{n \rightarrow \infty }a_n=a,k任意整数则\lim_{n \rightarrow \infty }a^{k}_n=a^{k}

    夹逼定理

    设{a_n},{b_n},{c_n}为三个序列,并且存在自然数N_0,使得c_n\leq a_n \leq b_n,\forall n>=N_0若{c_n},{b_n}极限都存在并且都等于l,则{a_n}的极限也存在,且等于l
    极限准则
    单调增加有上界或单调减少有下界的序列必有极限

    函数极限

    函数在x_0的领域内有定义,A是一个常数:\lim_{n \rightarrow x_0 }f(x)=A, f(x) \rightarrow A(x \rightarrow x_0)
    右极限:函数在右半领域(x_0,x_0+\varepsilon)内有定义
    \lim_{n \rightarrow x^{+}_{0} }f(x)=A
    左极限:函数在左半领域(x_0-\varepsilon,x_0)内有定义
    \lim_{n \rightarrow x^{-}_{0} }f(x)=A

    \lim_{n \rightarrow x_0 }f(x)=A充要条件\lim_{n \rightarrow x^{-}_{0}}f(x)=\lim_{n \rightarrow x^{+}_{0} }f(x)=A

    <b>无穷小</b>:以零为极限
    <b>无穷小性质</b>:
    1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小
    2.有限个无穷小的积仍是无穷小
    3.有界变量与无穷小的积仍是无穷小
    4.无限个无穷小之和不一定是无穷小
    5.无穷小的商不一定是无穷小

    常用极限

    \lim_{n \rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n=e
    \lim_{n \rightarrow 0 }\frac{sinx}{x}=1
    \lim_{n \rightarrow \infty }\frac{1}{x}=0
    \lim_{n \rightarrow \infty }e^{-x}=0

    函数连续性

    函数y=f(x)在点x_0的某领域内有定义,如果当自变量的改变量{\Delta x}趋于0时,相应的函数的改变量{\Delta y}也趋于0,则y=f(x)在点x_0处连续.
    \lim_{\Delta x \rightarrow 0 }\Delta y=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0
    函数f(x)在点x_0处连续需满足以下条件:
    1.函数在该点有定义
    2.函数在该点处极限存在
    3.极限值等于函数值f(x_0)

    函数间断点

    如果函数f(x)在点x_0处不连续,则f(x)在点x_0间断,点x_0为函数f(x)间断点.
    函数在x_0处间断需要满足下列至少一种情况
    1.f(x_0)无定义
    2.\lim_{x \to x_0 }f(x)不存在
    3.f(x_0)存在,\lim_{x \to x_0 }f(x)存在,但是不相等

    间断点类型:
    第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点
    第二类间断点包括无穷间断和振荡间断点
    1.可去间断点 \lim_{x \to x_0 }f(x)存在,但是\lim_{x \to x_0 }f(x)不等于f(x_0),或f(x_0)无定义
    2.跳跃间断点 \lim_{x \to x^{-}_0 }f(x)\lim_{x \to x^{+}_0 }f(x)都存在但是不想等
    3.无穷间断点 \lim_{x \to x^{-}_0 }f(x)=\infty
    4.振荡间断点 \lim_{x \to x_0 }f(x),f(x)值无限次在两个不同值之间变动,则x_0f(x)的振荡间断点

    相关文章

      网友评论

        本文标题:机器学习数学-函数极限

        本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/onhoxhtx.html