贝叶斯： Monty Hall（三门）问题的解

最近迷恋上数学，特别是在看了二项分布，t分布，以及卡方分布三大抽样以后，明白了为啥这三个分布曲线都非常像正态分布，其实这三个就是来自正态总体的三个常用的分布。

先从贝叶斯开始复习概率论

有一个著名的三门（Monty Hall）问题：

参赛者面前有三扇关闭着的门，其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，
而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩
下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要更换选择，选另一扇仍然关着的门。

Monty Hall 问题

主持人有意识行为导致的概率非随机归并，是 Monty Hall 问题认知困惑形成的根源。

证明参考自芝加哥大学（UCHICAGO）网页上的解法。

贝叶斯公式解

贝叶斯公式
其中，
P(A)或则P(B)就是先验概率，也就是事态未更新，根据经验获取的A或者B的概率；
P(A|B)或者P(B|A)叫做后验概率，也就是B发生后，A事件的概率，或者，A发生后，B事件的概率。总之就是事态更新后，左边事件发生的概率。

游戏开始，设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率，则P(A)=P(B)=P(C)=1/3
假定：游戏者任选了一道门A，而主持人（HOST）打开一道后面是羊的门C。
　　
　　主持人了解所有门后面的东东，他一定要打开一扇“羊”门
　　1. 如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门（“羊”门）的概率为
　　 P(Host opens C|A) = 1/2
　　2. 如果车在B门后面，主持人没有选择，只能打开C门
　　 P(Host opens C|B) = 1
　　3. 如果车在C门后面，主持人一样没得选择，绝对不能开C门
　　 P(Host opens C|C) = 0
　　
　　所以，主持人打开C门的概率为
　　P(Host opens C) = P(A)P(H.o. C|A) + P(B)P(H.o. C|B) + P(C)P(H.o. C|C)
　　= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2
　　
　　根据贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为
　　P(A|Host opens C) = P(A)P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
　　= (1/6) / (1/2)
　　= 1/3
　　P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
　　= (1/3) / (1/2)
　　= 2/3
　　这就是为什么要换二号门的原因。

再来一道实例题：

• 实例：某机器对在所有人口中得病率为1%的癌症识别率为95%（有病的人被测出患病的概率和没病的人被测出健康的概率）。一个被测得有病的人真实患癌症的概率是多少？
  解法1：
  真正的样本空间是由测得有病的癌症患者和测得有病的正常人组成，所以答案是95/(95+495)≈16%。
  解法2：贝叶斯公式
  

阿西吧，简书上我用不来数学公式的编辑。
o(╥﹏╥)o

贝叶斯： Monty Hall（三门）问题的解