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例子是最小差值生成树:
给定一个无向图，求它的一棵最小生成树，使得生成树中的最大边权与最小边权的差最小化。
4 6（定点数，边数。下面是带权值的邻接矩阵）
2 1 22409496
3 1 601062
3 2 1474032
4 1 64697574
4 2 53913408
4 3 26249836
思路：
枚举每一条边，作为生成树中最小边权的的边，在此基础求得多棵生成树，每次用Kruskal算法构造最小生成树，用最大权值减去最小权值作为答案输出。而在Kruskal算法中用到并查集。
1.先上并查集的基本思想。
并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find是查找，join是合并。
int pre[1010]; //存放第i个元素的父节点
int unionsearch(int root) //查找根结点
{
int son, tmp;
son = root;
while(root != pre[root]) //寻找根结点
root = pre[root];
while(son != root) //路径压缩
{
tmp = pre[son];
pre[son] = root;
son = tmp;
}
return root;
}
void join(int root1, int root2) //判断是否连通，不连通就合并
{
int x, y;
x = unionsearch(root1);
y = unionsearch(root2);
if(x != y) //如果不连通，就把它们所在的连通分支合并
pre[x] = y;
}
2. 趣解并查集
话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的帮派，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个帮派的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物。这样，每个圈子就可以这样命名“中国同胞队”美国同胞队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长抓狂要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样，想打一架得先问个几十年，饿都饿死了，受不了。这样一来，队长面子上也挂不住了，不仅效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否是一个帮派的，至于他们是如何通过朋友关系相关联的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，都不重要了。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。
image
下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。
find这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。
int unionsearch(int root) //查找根结点
{
int son, tmp;
son = root;
while(root != pre[root]) //我的上级不是掌门
root = pre[root];
while(son != root) //我就找他的上级，直到掌门出现
{
tmp = pre[son];
pre[son] = root;
son = tmp;
}
return root; //掌门驾到~~
}
再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹帅锅与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！大笑反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”于是，两人相约一战，杀的是天昏地暗，风云为之变色啊，但是啊，这场战争终究会有胜负，胜者为王。弱者就被吞并了。反正谁加入谁效果是一样的，门派就由两个变成一个了。这段函数的意思明白了吧？
void join(int root1, int root2) //虚竹和周芷若做朋友
{
int x, y;
x = unionsearch(root1);//我老大是玄慈
y = unionsearch(root2);//我老大是灭绝
if(x != y)
pre[x] = y; //打一仗，谁赢就当对方老大
}
再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也无法预知，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。
设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能干一场。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是自己人，有礼有礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位大侠请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其实偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起结拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻烦。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂可以自己模拟一下，很简单的一个递归而已。总之它所实现的功能就是这么个意思。
image
于是，问题圆满解决。。。。。。。。。
代码如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int pre[1010]; //里面全是掌门
int unionsearch(int root)
{
int son, tmp;
son = root;
while(root != pre[root]) //寻找掌门ing……
root = pre[root];
while(son != root) //路径压缩
{
tmp = pre[son];
pre[son] = root;
son = tmp;
}
return root; //掌门驾到~
}
int main()
{
int num, road, total, i, start, end, root1, root2;
while(scanf("%d%d", &num, &road) && num)
{
total = num - 1; //共num-1个门派
for(i = 1; i <= num; ++i) //每条路都是掌门
pre[i] = i;
while(road--)
{
scanf("%d%d", &start, &end); //他俩要结拜
root1 = unionsearch(start);
root2 = unionsearch(end);
if(root1 != root2) //掌门不同？踢馆！~
{
pre[root1] = root2;
total--; //门派少一个，敌人（要建的路）就少一个
}
}
printf("%d\n", total);//天下局势：还剩几个门派
}
return 0;
}
3.简单描述一下最小生成树
在n个顶点的无向图G<V,E>中，选择权值最小的边，一共n-1条，把所有的顶点连接起来。如图：
image
4.简单描述一下Kruskal算法
Kruskal算法是基于贪心的思想得到的。目的就是构造最小生成树。首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列，接着按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并，直到所有的点都属于同一个集合为止。
5.再回到这个题目
了解了并查集，问题就好办了。Kruskal算法正是用并查集的find（）查找根节点，join（）合并根节点构造最小生成树。
上面给的4条边，6个顶点。一共构造如下4棵生成树：
image
image
解题代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=200;
const int MAXM=5000;
int pnt[MAXN+1],myrank[MAXN+1];
struct Edge{
int u,v,w;
bool operator<(const Edge &e)const{
return w<e.w;
}
};
Edge edge[MAXM];
int find(int x){
int px=pnt[x];
while(px!=pnt[px]){
px=pnt[px];
}
while(x!=px){
int tmp=pnt[x];
pnt[x]=px;
x=tmp;
}
return px;
}
void merge(int x,int y){
if(myrank[x]<myrank[y]){
pnt[x]=y;
}
else{
pnt[y]=x;
myrank[x]+=(myrank[x]==myrank[y]);
}
}
int main(){
int casen;
scanf("%d",&casen);
while(casen--){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<m;i++){
scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w);
}
sort(edge,edge+m);
int ans=-1;
for(int k=0;k<m;k++){
if(k>0&&edge[k].w==edge[k-1].w){
continue;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
myrank[pnt[i]=i]=0;
}
int cnt=0;
for(int i=k;i<m;i++){
int u=find(edge[i].u);
int v=find(edge[i].v);
if(u!=v){
merge(u,v);
cnt++;
printf("cnt is %d\n",cnt);
if(cnt==n-1){
int t=edge[i].w-edge[k].w;
printf("最大边%d -最小边%d= %d\n",edge[i].w,edge[k].w,t);
if(ans==-1||ans>t){
ans=t;
}
break;
}
}
}
if(cnt<n-1){
break;
}
}
printf("answer is %d\n",ans);
}
return 0;
}
运行截图：
image
并查集部分解释来自：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6662911
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