一些图形学概念的理解

齐次坐标

背景：在欧几里得几何（或称笛卡尔）空间里，两条平行线永远都不会相交。但是投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点，笛卡尔空间里面无法搞定这个问题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有意义的），因此数学家想出齐次坐标这个点子来了。

介绍：由 August Ferdinand Möbius 提出的齐次坐标（Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如，2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w，变成(x, y, w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y 与齐次坐标中的小x，y有对应关系：X = x/w，Y = y/w。笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这点移动到无限远(∞,∞)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。

为什么叫“齐次”：任意数量积的(1a, 2a, 3a) 始终对应于笛卡尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。因此这些点是“齐次”的，因为他们始终对应于笛卡尔坐标中的同一点。换句话说，齐次坐标描述缩放不变性（scale invariant）。

证明两平行线可以相交：
笛卡尔坐标系中，对于如下两个直线方程：

image.png

如果 C 不等于 D，以上方程组无解；如果 C = D，那这两条线就是同一条线了。
下面我们用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里来求解：

image.png

现在我们就可以在 C 不等于 D 的情况得到一组解 (x, y, 0)，代入得 (C - D)w = 0，因为 C ≠ D，所以 w = 0。因而，两条平行线相交于投影空间中无限远处的一点 (x, y, 0)。

参考：http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html