利用基本不等式求平面向量的最值
平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.
方法一 利用基本不等式求平面向量的最值
使用情景：一般平面向量求最值问题
解题步骤：
第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；
第二步 运用基本不等式求其最值问题；
第三步 得出结论.
【例1】 设是
内一点，且
，
，定义
，其中
，
，
分别是
，
，
的面积，若
，则
的最小值是（ ）
A．8
B．9
C．16
D．18
【答案】D
【解析】
因，故
，
即，故
，
由题设可得，即
，
所以
故应选D.
【总结】本题以三角形为背景,通过定义一个新概念的形式精心设置了一道探求最小值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,特别是题设中的,解答时先运用向量的数量积公式,求出三角形的面积
,再由
构建方程
,然后在运用变形巧妙地求出
的最小值为
.
【例2】 如图所示，已知点是
的重心，过点
作直线与
，
两边分别交于
，
两点，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为，
，
三点共线，
所以，
，
因为是
的重心，
所以，
，
所以，
化简得，
由题目所给图象可知，
，
由基本不等式得
即，
当且仅当，即
，
时，等号成立
故最小值为.
【总结】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用.由题意可得，利用三角形重心的向量表示，化简可得
.然后利用基本不等式来求得最值.在利用基本不等式时，所用的公式是
，需要先配一下系数，使得基本不等式满足一正、二定、三相等.
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