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2020-08-07范畴与函子

2020-08-07范畴与函子

作者: 韦教主nb | 来源:发表于2020-08-14 15:45 被阅读0次

    “代数拓扑的基本观点:几+66代数照相。这种照相是用范畴与函子的语言来表达的。”——姜伯驹

    范畴和函子(尤其是函子)主要是由代数拓扑引出的概念,主要目的是用一种更抽象统一的语言来描述关于拓扑空间的不变量,也就是如果能用函子把范畴(例如拓扑空间范畴和群范畴)联系起来,那么一个范畴中的对象(拓扑空间)在函子作用下所对应的另一个范畴中的对象(基本群)就是这个对象(拓扑空间)的不变量。(因为我们拓扑学中知道,两个拓扑空间同胚,那么它们的基本群同构)

    注:初学者可先看第三部分,再看一、二。

    一、范畴

    什么是范畴?简单来说,一个范畴C由两个集合组成:(1)一些对象构成的一个类ob(C);(2)ob(C)中附加上每个对象之间的所有态射Hom(A,B)构成的族。并且满足:态射间的复合律(f为X到Y的态射,g为Y到Z的态射,那么g\circ f为X到Z的态射,且运算“\circ ”是结合的);以及存在每个对象X到自己的恒同映射1_{X} (f\circ 1_{X}=f,1_{X} \circ g=g )

    举几个例子:1、所有群以及群之间的同态映射构成一个范畴(其中,每个对象是群,两个对象之间的所有态射就是这两个的所有同态映射),称为群范畴;

    2、所有线性空间以及线性空间的线性映射构成一个范畴(其中,每个对象是线性空间,两个对象间的所有态射就是这两个线性空间的所有线性映射),称为线性空间范畴;

    3、所有拓扑空间以及拓扑空间的连续映射构成一个拓扑空间范畴;

    4、所有微分流形以及微分流形之间的光滑映射构成一个微分流形范畴。

    同构:如何描述范畴中两个对象是"一样"的?那么引入同构的概率;范畴C中的两个对象X、Y间如果存在一个态射f\in Hom(X,Y)以及另一个态射g\in Hom(Y,X),满足g\circ f=1_{X} (恒同态射)且f\circ g=1_{Y} (恒同态射),则称这两个对象同构,称f、g为同构态射

    积与余积:如何由一个范畴中几个对象生成一个更大的对象呢?我们引入积与余积的概念:可以简单理解成,范畴中任意多个空间的积就是通常所说的线性空间中直积(笛卡尔积)的推广,记为\prod_{i\in I}X_{i} ;而任意多个空间的余积是线性空间中直和的推广,记为\coprod_{i\in I }X_{i} 。(注意:在一个范畴中,积与余积不一定存在!但若存在,则积(余积)在同构意义下唯一,此时称该范畴为积范畴(余积范畴))

    例如:1、集合范畴里的积就是通常意义下的笛卡尔积,余积是不交并。

    2、群范畴和环范畴里的积就是直积,余积是自由积。

    3、模范畴里的积是笛卡尔积,余积是有限多对象做笛卡尔积。

    4、线性空间范畴里的积是笛卡尔积(直积),余积是有限多对象做笛卡尔积(直和)。

    5、拓扑空间范畴里的积是笛卡尔积,余积是拓扑和。

    二、函子

    引入:两个——空间存在同态,那么它们对应的两个——空间存在同态。

    两个拓扑空间存在连续映射(同胚),那么它们对应的基本群同态(同构)。

    两个拓扑空间存在连续映射(同胚),那么它们对应的奇异同调群同态(同构)。

    两个微分流形存在光滑映射(微分同胚),那么它们对应的deRham上同调群同态(同构)。

    两个带基点的微分流形存在光滑映射(微分同胚),那么它们对应的余切空间同态(同构)。

    两个李群同态(同构),那么它们对应的李代数同态(同构)。

    我们把这些关系抽象成一个更一般的形式,即函子。

    函子的定义:函子是两个范畴之间的一种映射(关系)。它把对象映射到对象,态射映射到态射。函子分为协变函子与反变函子,具体定义如下:

    给定范畴C和D,如果它们之间存在一个映射F:C\rightarrow D,满足:

    1、对象到对象:F把C中对象X映射到F(X)\in D

    2、态射到态射:F把C中态射f:X\rightarrow Y映射到D中态射F(f):F(X)\rightarrow F(Y),且满足:

    (1)(恒等律)恒等态射映到恒等态射:F(id_{X} )=id_{F(X)}

    (2)(复合律)F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).。则称映射F为范畴C到范畴D的一个协变函子。

    至于反变函子,只是把定义第2条中F(f):F(X)\rightarrow F(Y)改为F(f):F(Y)\rightarrow F(X),其他类似。

    函子的性质:1、函子把同构态射到同构态射;

    2、C和D中存在一个函子F,D和\varepsilon 存在一个函子G,则G\circ F是C到\varepsilon 的一个函子。

    这样,我们再重新看一下引入的例子,把前者和后者分别当成一个范畴,那么它们之间存在一个函子。

    例如,拓扑空间范畴C到Abel群范畴D由一个函子F,把ob(C)中两个拓扑空间X、Y(对象)分别映射到它们的奇异同调群H_{q} (X)=F(X)和H_{q} (Y)=F(Y)(ob(C)中两个对象),且把X到Y的任一连续映射f(态射)映射到f_{\ast } 为H_{q} (X)到H_{q} (Y)的同态f_{\ast } =F(f)(态射)。

    三、代数拓扑

    什么是拓扑空间以及为什么研究拓扑空间?

    可以说拓扑空间是几何学(广义所指,包含拓扑学)的基础。现代几何学研究的东西都是在某个特定的拓扑空间上展开的,或者说:几何学的基本对象就是拓扑空间。

    比如流形,其就是局部同胚于欧式空间的T_{2} 拓扑空间(又称Hausdorff空间);再比如前两篇我们谈到的微分流形,其实质就是赋有微分结构的流形;再比如微分几何,其研究的也是赋有某种特定结构(比如黎曼度量,联络,张量场等等)的微分流形。

    拓扑空间的定义:设X是一个非空集合,它的一个子集族\tau 满足:(1)\oslash ,X在\tau 中;(2)对任意并封闭;(3)对有限交封闭。则称集合X为一个赋有拓扑结构\tau 的拓扑空间,记为(X,\tau )。

    什么又是代数拓扑?

    拓扑学(尤其是代数拓扑)是几何学的一个分支,其最终目的是为了找一些拓扑不变量对拓扑空间进行分类。因为点集拓扑中的不变量,诸如连通性、紧致性等等这些不变量实在不够用,所以我们想通过找一些和拓扑空间有关的代数空间(由代数结构的拓扑不变量,即在拓扑空间同胚下同构),通过认识代数空间的结构来认识原来拓扑空间的性质,并在此基础上将拓扑空间进行分类。

    用范畴和函子的语言来描述就是,找到一个代数空间范畴,使得拓扑空间范畴到这个代数空间范畴之间有一个函子(因为函子把拓扑空间的连续映到代数空间的同态,且把拓扑空间的同胚映到代数空间的同构)。

    而我们更大的梦想是找到一个代数空间范畴,使得这个范畴到拓扑空间范畴之间有一个函子!但是找了几十年还是没有找到这样的范畴(但在一些特定的拓扑空间中,我们确实做到了)

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